Пусть AB и MN пересекаются в точке С

По теореме о касательной и секущей из одной точки (произведение секущей на её внешнюю часть равно квадрату касательной)

CM^2 =CA*CB

CN^2 =CA*CB

=> CM=CN

(Доказали, что радикальная ось делит пополам отрезки общих касательных между точками касания.)

Тогда AM =MN/2 =CM, ∠AMN=90 =>

△AMN - равнобедренный прямоугольный, ∠MAB=45

∠NMB =∪MB/2 (угол между касательной и хордой равен половине дуги, стягиваемой хордой)

∠MAB =∪MB/2 (вписанный угол)

∠NMB =∠MAB =45°