2) По сути нам надо проверить, является ли число 2 корнем многочлена А(х).

Схема Горнера:

К | 3 | 0 | -6 | 0 | -15

2 | 3 | 6 | 6 | 12 | 9

Ответ: Q(x) = 3x^3+6x^2+6x+12; R(x) = 9

3) Теорема Безу: остаток от деления многочлена Р(х) на двучлен (х-а) равен Р(а).

а) A(x) = 5x^3-4x^2-12x-3; B(x) = x+1

A(-1) = 5(-1) - 4*1 - 12(-1) - 3 = -5 - 4 + 12 - 3 = 0

б) A(x) = (x-1)^9; B(x) = x-2

A(2) = (2-1)^9 = 1^9 = 1

Ответ: а) 0; б) 1

4) P3(x) = x^3 + ax^2 + bx + 12 при делении на (x-1) даёт в остатке -12.

Значит, P3(x)+12 = x^3 + ax^2 + bx + 24 даёт в остатке 0, то есть имеет корень 1

1^3 +a*1^2 + b*1 + 24 = 0

a + b + 25 = 0

P3(x) при делении на (x+1) даёт в остатке -6.

Значит, P3(x)+6 = x^3 + ax^2 + bx + 18 даёт в остатке 0, то есть имеет корень -1.

(-1)^3 + a(-1)^2 + b(-1) + 18 = 0

a - b + 17 = 0

Получаем систему:

{ a + b = -25

{ a - b = 17

Складываем уравнения

2a = -25 + 17 = -8

a = -4

-4 - b = 17

-4 - 17 = b

b = -21

Ответ: a = -4; b = -21