Опишем окружность данного радиуса с центром О. Проведем в нейхорду АВ, равную заданной стороне. Пусть М –середина этой хорды. Проведемдиаметр ТР через точки М и О (Т и Р лежат на окружности и Т –ближайшая к М).Все биссектрисы вписанных треугольников АВС из угла С проходят через точкуТ-середину дуги АВ. Предположим, что построен искомый треугольник АВС сбиссектрисой СК, продолжение которой проходит через Т. Биссектриса СК равна заданной L. Заметим, что треугольник РСТ подобен треугольнику ТМК (обапрямоугольные с общим углом Т). ЗначитТК*ТС=ТМ*ТР. Но и треугольник ТВРподобен треугольнику ТВМ и ТВ*ТВ=ТМ*ТР. Значит ТК*ТС=ТВ*ТВ и это верно длялюбой точки С на дуге проходящей через АВР.
Теперь построение : ТВ нам известно (строится сразу). ТК*( L+ТК)=ТВ*ТВ. Значит ТК^2+2*(L/2)*TK+L^2/4=TB^2+L^2/4 TK=sqrt(TB^2+L^2/4)-L/2. ТС= sqrt(TB^2+L^2/4)+L/2. Таким образом, ТС строитсяэлементарно : Строим прямоугольный треугольник с катетами ТВ и L/2 и его гипотенузу продолжаем на L/2. Зная ТС проводим окружность из Т радиуса ТС и пересечение ее с исходнойокружностью даст точку С (и симметричную ей относительно ТР). Условия наРадиус, Хорду АВ и длину биссектрисы L, когда построения выполнимы, вполне очевидны.
Answers & Comments
Опишем окружность данного радиуса с центром О. Проведем в нейхорду АВ, равную заданной стороне. Пусть М –середина этой хорды. Проведемдиаметр ТР через точки М и О (Т и Р лежат на окружности и Т –ближайшая к М).Все биссектрисы вписанных треугольников АВС из угла С проходят через точкуТ-середину дуги АВ. Предположим, что построен искомый треугольник АВС сбиссектрисой СК, продолжение которой проходит через Т. Биссектриса СК равна заданной L. Заметим, что треугольник РСТ подобен треугольнику ТМК (обапрямоугольные с общим углом Т). ЗначитТК*ТС=ТМ*ТР. Но и треугольник ТВРподобен треугольнику ТВМ и ТВ*ТВ=ТМ*ТР. Значит ТК*ТС=ТВ*ТВ и это верно длялюбой точки С на дуге проходящей через АВР.
Теперь построение : ТВ нам известно (строится сразу). ТК*( L+ТК)=ТВ*ТВ. Значит ТК^2+2*(L/2)*TK+L^2/4=TB^2+L^2/4 TK=sqrt(TB^2+L^2/4)-L/2. ТС= sqrt(TB^2+L^2/4)+L/2. Таким образом, ТС строитсяэлементарно : Строим прямоугольный треугольник с катетами ТВ и L/2 и его гипотенузу продолжаем на L/2. Зная ТС проводим окружность из Т радиуса ТС и пересечение ее с исходнойокружностью даст точку С (и симметричную ей относительно ТР). Условия наРадиус, Хорду АВ и длину биссектрисы L, когда построения выполнимы, вполне очевидны.