Пространство закрашено в четыре цвета. Доказать, что найдутся две точки, расстояние между которыми 1 м, закрашенные в один цвет.
Answers & Comments
MizoriesKun
Пусть этих точек нет. рассмотрим правильный тетраэдр SABC со стороной 1 м. Все его вершины разного цвета. Рассмотрим точку S' симметричную вершине S относительно плоскости АBC . она на расстоянии 1м от вершин АВС , а значит того же цвета что и S. Расстояние от S до S' больше 1 - 2√2/√3 . Все точки находящиеся от S на этом расстоянии должны быть того же цвета что и S . но очевидно что на этой сфере найдутся две точки на расстоянии 1м. получили противоречие.
0 votes Thanks 0
yugolovin
А почему противоположные вершины квадрата разного цвета?
MizoriesKun
тут все по аналогии, если точки лежащие на расстоянии 1 м разного цвета , то до противоположной точки расстояние составит корень из двух , если предположить что они одного цвета то В иD попадают в эту окрестность , тогда и они должны быть того же цвета
yugolovin
А твое рассуждение я совершенно не понял
MizoriesKun
а ты рисуй ,читая предположим что точек одного цвета расстояние между которыми 1 м. нет тогда при построении квадрата со стороной 1 м получим вершины разных цветов , (если до ближайших по 1 перту то до противоположной приблизительно 1,4 )
Допустим что две точки лежащие на расстоянии 1 м разного цвета, построим квадрат со стороной 1м , тогда получим что все точки принадлежашие вершинам разного цвета. отметим точку А1 и D1 симметричную соответственно точке А и D относительно стороны ВС , а так как А1 находится от точек В и D1 на расстоянии 1м она не совпадает с ними по цвету , значит она совпадает по цвету с точкой А либо С , либо D ,то есть если начертить окружность с радиусом 2 ,и центром в точке А, либо окружность с радиусом √2 с центром в точке С , либо кружность с радиусом √ 5 с центром в точке D,то все точки принадлежащие этой окружности будут одного цвета , значит найдутся две точки расстояние между которыми равно 1. .Получили противоречие.
Answers & Comments
рассмотрим правильный тетраэдр SABC со стороной 1 м.
Все его вершины разного цвета. Рассмотрим точку S' симметричную вершине S относительно плоскости АBC . она на расстоянии 1м от вершин АВС , а значит того же цвета что и S. Расстояние от S до S' больше 1 - 2√2/√3 . Все точки находящиеся от S на этом расстоянии должны быть того же цвета что и S . но очевидно что на этой сфере найдутся две точки на расстоянии 1м. получили противоречие.
Verified answer
Допустим что две точки лежащие на расстоянии 1 м разного цвета,построим квадрат со стороной 1м , тогда получим что все точки принадлежашие вершинам разного цвета.
отметим точку А1 и D1 симметричную соответственно точке А и D относительно стороны ВС ,
а так как А1 находится от точек В и D1 на расстоянии 1м она не совпадает с ними по цвету , значит она совпадает по цвету с точкой А либо С , либо D
,то есть если начертить окружность с радиусом 2 ,и центром в точке А, либо окружность с радиусом √2 с центром в точке С , либо кружность с радиусом √ 5 с центром в точке D,то все точки принадлежащие этой окружности будут одного цвета , значит найдутся две точки расстояние между которыми равно 1. .Получили противоречие.