Ответ:

На грампластинку, вращающуюся в горизонтальной плоскости с частотой 33 об./мин., попал жук. Радиус пластинки 20см. Масса жука $m = 5,0 \cdot 10^{-4} кг$.

1. Какой должен быть минимальный коэффициент трения между пластинкой и лапками жука, чтобы он мог обежать пластинку по периметру за 10c.

2. Завершив полный круг, жук направился к центру пластинки, двигаясь радиально с постоянной скоростью (относительно пластинки) 7,0 см /с. Найдите величину и направление силы трения, действующей на жука, когда он находился на расстоянии 15см от центра.

3. Какую работу совершил жук, перебежав от края пластинки к ее центру?

Решение:

1. В инерциальной системе отсчета (ИСО) относительно Земли жук движется с угловой скоростью

$\omega = 2 \pi n \pm \frac{2 \pi}{T}$.

Где знаки соответствуют движению жука по или против направления вращения пластинки.

Следовательно, его центростремительное ускорение

$a = \omega^{2}R = \left ( 2 \pi n \pm \frac{2 \pi}{T} \right )^{2} R$

Согласно основному закону динамики

$ma = F_{тр} = \mu mg \Rightarrow \mu = \frac{a}{g} = \left ( 2 \pi n \pm \frac{2 \pi}{T} \right ) \frac{R}{g}$.

Расчеты приводят к следующим значениям: 0.34 для движения в сторону вращения и 0.16 для противоположного направления движения.

2. Ищем ускорение жука в ИСО. Центростремительное ускорение

$a_{1} = \omega^{2} R_{1} =(2 \pi n)^{2} R_{1}$.

Вследствие вращения изменяется направление вектора скорости, т.е.

$\Delta v = v \Delta \phi = v \omega \Delta t, a_{2} = \omega v$.

С изменением расстояния изменяется и тангенциальная составляющая скорости, что тоже приводит к появлению соответствующей составляющей ускорения

$\Delta v = \omega (R + \Delta R) - \omega R = \omega \Delta R, a_{3} = \omega \frac{ \Delta R}{ \Delta t} = \omega v$

направленной так же как и $a_{2}$.

Векторное сложение ускорений позволяет определить полное ускорение

$a = \sqrt{a_{1}^{2} + (a_{2} + a_{3})^{2}} = \sqrt{(2 \pi nR)^{2} + 4 \omega^{2} v^{2}} = 1,86 м/с^{2}$.

Соответственно искомая сила трения равна

$F_{тр} = ma = 9.3 \cdot 10^{-4} Н$.

Заметим, что решение данной задачи сводится к вычислению силы Кориолиса.

3. Для вычисления работы вспомним формулу

$A = \vec{F} \cdot \vec{S}$,

где $\vec{F}$ - мускульная сила жука. Теперь нужно учесть то, что сила жука при движении постоянно меняется по величине и по направлению, поэтому предлагается следующий способ вычисления

$A = \sum_{i} \vec{F}_{i} \cdot \Delta \vec{S}_{i} = \sum_{i} F_{i} \cdot \Delta r_{i} \cdot \cos \alpha_{i} = \sum_{i} \Delta r_{i} (F_{i} \cos \alpha_{i}) = \{ F_{i} \cos \alpha_{i} = ma_{1i} \} = \sum_{i} m \omega^{2} r_{i} \Delta r_{i} = m \omega^{2} \sum_{i} r_{i} \Delta r_{i} = m \omega^{2} \frac{r^{2}}{2} = 1,19 \cdot 10^{-4} Дж$.