Исследуем знак второй производной: f''(x)=0 - когда где
Поскольку a³≤a², b³≤b², причем при a∈(0,1); b∈(0,1) неравенства строгие, делаем вывод, что такое возможно только при a=1; b=0 или a=0; b=1, при прочих a и b, удовлетворяющих второму уравнению, сумма их кубов будет меньше 1, откуда вторая производная всюду неотрицательна, то есть функция вогнута. А поскольку других решений на промежутке нет.
2) уравнение принимает вид
На этом участке подобное рассуждение не проходит; кроме x=2 точно есть корень слева от нуля, поскольку f(0)>6. Будем рассуждать иначе.
уравнение превращается в
Обе части положительны, смело возводим в квадрат (а можно было и к половинному углу свести):
6-6cos 2t-10sin 2t+2sin 2t cos 2t=0;
12sin² t-20 sin t cos t+4sin t cos t(cos² t-sin² t)=0; sin t=0 (⇒ a=0; b =2; x=2) или 3 sin t-5cos t+cos³ t-cos t sin² t=0;
(3sin t-5cos t)(cos²t+sin²t)+cos³ t-cos t sin^2 t=0;
3sin³t-6sin²t cos t+3sin t cos²t-4cos³ t=0; очевидно cos t≠0; tg t=p;
3p³-6p²+3p-4=0; домножаем на 9 и замена 3p=q: q³-6q+9q-36=0;
(q-2)³-3(q-2)-34=0;
но
Вот этот корень мы и искали. Подставлять найденное p для выписывания b, а затем x, сил уже не осталось.
Возможно, я где-то ошибся, но ошибку пока не вижу. Засим разрешите откланяться.
Answers & Comments
Verified answer
Угадываем корни 2 и - 2. Заметим, что
1)
уравнение принимает вид
Исследуем знак второй производной: f''(x)=0 - когда
где
2)
уравнение принимает вид
На этом участке подобное рассуждение не проходит; кроме x=2 точно есть корень слева от нуля, поскольку f(0)>6. Будем рассуждать иначе.
Обе части положительны, смело возводим в квадрат (а можно было и к половинному углу свести):
6-6cos 2t-10sin 2t+2sin 2t cos 2t=0;
12sin² t-20 sin t cos t+4sin t cos t(cos² t-sin² t)=0; sin t=0 (⇒ a=0; b =2; x=2) или 3 sin t-5cos t+cos³ t-cos t sin² t=0;
(3sin t-5cos t)(cos²t+sin²t)+cos³ t-cos t sin^2 t=0;
3sin³t-6sin²t cos t+3sin t cos²t-4cos³ t=0; очевидно cos t≠0; tg t=p;
3p³-6p²+3p-4=0; домножаем на 9 и замена 3p=q: q³-6q+9q-36=0;
(q-2)³-3(q-2)-34=0;
Вот этот корень мы и искали. Подставлять найденное p для выписывания b, а затем x, сил уже не осталось.
Возможно, я где-то ошибся, но ошибку пока не вижу. Засим разрешите откланяться.