Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

[tex]\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)^8+\left(x^2+1+x\sqrt{x^2+1}\right)^8=337[/tex]

Заметим одну интересную особенность:

[tex]\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)^8=\left(\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)^2\right)^4=\left(2\left(x^2+1+x\sqrt{x^2+1}\right)-1\right)^4[/tex]

Введем замену:

[tex]t=x^2+1+x\sqrt{x^2+1},\;t > 0[/tex]

Тогда исходное уравнение примет вид:

[tex]\left(2t-1\right)^4+t^8=337[/tex]

Один из корней этого уравнения [tex]t=2[/tex] угадывается.

Покажем, что других положительных корней нет.

При [tex]t > 2[/tex] имеем, что [tex]t^8 > 256,\;\left(2t-1\right)^4 > 81[/tex], откуда [tex]\left(2t-1\right)^4+t^8 > 337[/tex].

При [tex]0 < t < 2[/tex] имеем, что [tex]0 < t^8 < 256[/tex] и [tex]1 < \left(2t-1\right)^4 < 81[/tex]. Тогда [tex]1 < \left(2t-1\right)^4+t^8 < 337[/tex].

Получили, что [tex]t=2[/tex] единственный положительный корень.

Сделаем обратную замену и получим более простое уравнение:

[tex]x^2+1+x\sqrt{x^2+1}=2[/tex]

Умножим его на [tex]\left(x-\sqrt{x^2+1}\right)\ne0[/tex] и получим:

[tex]-\sqrt{x^2+1}=2x-2\sqrt{x^2+1}\\\sqrt{x^2+1}=2x[/tex]

Из последнего уравнения находим, что [tex]x=\dfrac{1}{\sqrt{3}}[/tex] есть единственный корень исходного уравнения.

Уравнение решено!

Комментарий:

Решение уравнения [tex]\sqrt{x^2+1}=2x[/tex] тривиальное, поэтому его я опускаю. Получили полное решение без вычислительных излишеств, усложняющих восприятие сути задания.