***

астроида — это плоская кривая, описываемая точкой окружности радиуса, катящейся по внутренней стороне окружности радиуса;

с модулем  [tex]{\displaystyle k=4}[/tex]

(R=10)

[tex]{\displaystyle x^{2/3}+y^{2/3}=R^{2/3}}[/tex]  

[tex]x^{2/3} +y^{2/3} =10^{2/3}[/tex]

запишем параметрическое уравнение:

[tex]\left \{ { x=R\cos ^{3}t}} \atop {y=R\sin ^{3}t}} \right. \left \{ {{x =10cos^3t} \atop {y=10sin^3t}} \right.[/tex]

будем находить площадь одной четвёртой части фигуры (см. рис.) и полученное умножим на 4

[tex]0\leq x\leq 10\\\\\pi/2 \leq t \leq 0[/tex]

=>

[tex]x_{1} =0[/tex]      <=>     [tex]10cos^3t=0[/tex]     <=>   [tex]cost=0[/tex]   [tex]t_{1} =\pi /2[/tex]

[tex]x_{2} = 10[/tex]    <=>      [tex]10cos^3 t = 10[/tex]   <=>   [tex]cost=1[/tex]  [tex]t_{2} = 0[/tex]

[tex]S/4 = \int\limits^{t_{2} }_{t_{1}} {y(t) ^{.}x'(t) } \, dt =\int\limits^0_{\pi /2} {10sin^3t^. (-30cos^2 t ^.sint)} \, dt = -\int\limits^{\pi /2}_0 {-300sin^4t^.cos^2t} \, dt =[/tex]

[tex]300\int\limits^{\pi /2}_0 {sin^2t ^. sin^2 t^.cos^2t} \,^. dt = 300\int\limits^{\pi /2}_0 {\frac{1-cos2t}{2}^.(1/2sin2t)^2 } \, dt =[/tex]

[tex]\frac{300}{8} \int\limits^{\pi /2}_0 {(sin^22t-sin^22t^.cos2t}) \, dt = \frac{300}{8} ^.(\int\limits^{\pi /2}_0 {\frac{1-cos4t}{2} \, dt - \frac{1}{2} \int\limits^{\pi /2}_0 {sin^22t^.} d(sin2t))=[/tex]

[tex]\frac{300}{16} ^. (t - \frac{sin4t}{4} ) |_{0} ^{\pi /2} - \frac{300}{16} ^. \frac{sin^32t}{3} |_{0} ^{\pi /2=[/tex]

[tex]\frac{300}{16} ^{.} \frac{\pi}{2} = \frac{300\pi }{32}[/tex]

[tex]S = 4 ^. (\frac{300}{32}) =\frac{75\pi }{2}[/tex]

ответ: 75п/2