Решите!!!!!!!!!!!!!!!!. Created by kamilmatematik100504. algebra-ru

Ответ:Объяснение:Найдем вспомогательную сумму ., а значит ряд сходится, и конечна.Заметим: Вернемся к исходному условию:__________________________ Если применять идею сразу:Пусть . , а значит ряд сходится, и конечна.Заметим:

Решите!!!!!!!!!!!!!!!!...

kamilmatematik100504 @kamilmatematik100504

July 2022 1 43 Report

Решите!!!!!!!!!!!!!!!!

Answers & Comments

igorShap

Verified answer

Ответ:

$7$

Объяснение:

Найдем вспомогательную сумму $S=\sum\limits_{k=1}^\infty \dfrac{k}{2^k}$ .

$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\dfrac{n}{2^n}}=\dfrac{1}{2}$ , а значит ряд сходится, и $S$ конечна.

Заметим:

$S=\sum\limits_{k=1}^\infty \dfrac{k}{2^k}=\dfrac{1}{2}\sum\limits_{k=1}^\infty \dfrac{k-1}{2^{k-1}}+\sum\limits_{k=1}^\infty \dfrac{1}{2^k}=\dfrac{1}{2}\sum\limits_{m=0}^\infty \dfrac{m}{2^{m}}+\dfrac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=\dfrac{1}{2}\underbrace{\sum\limits_{m=1}^\infty \dfrac{m}{2^{m}}}_{S}+1=\dfrac{S}{2}+1\\ S=\dfrac{S}{2}+1\Rightarrow 2S=S+2\Rightarrow S=2$

Вернемся к исходному условию:

$\sum\limits_{k=1}^\infty \dfrac{2k+3}{2^k}=\sum\limits_{k=1}^\infty \dfrac{2k}{2^k}+\sum\limits_{k=1}^\infty \dfrac{3}{2^k}=2\underbrace{\sum\limits_{k=1}^\infty \dfrac{k}{2^k}}_{S=2}+3\underbrace{\sum\limits_{k=1}^\infty \dfrac{1}{2^k}}_{1}=2\cdot 2+3\cdot 1=7$

__________________________

Если применять идею сразу:

Пусть $S=\sum\limits_{k=1}^\infty \dfrac{2k+3}{2^k}$ .

$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\dfrac{2n+3}{2^n}}=\dfrac{1}{2}$ , а значит ряд сходится, и $S$ конечна.

Заметим:

$S=\sum\limits_{k=1}^\infty \dfrac{2k+3}{2^k}=\sum\limits_{k=1}^\infty \dfrac{2k+1}{2^k}+\sum\limits_{k=1}^\infty \dfrac{2}{2^k}=\dfrac{1}{2}\sum\limits_{k=1}^\infty \dfrac{2(k-1)+3}{2^{k-1}}+\sum\limits_{k=1}^\infty \dfrac{1}{2^{k-1}}=\dfrac{1}{2}\sum\limits_{m=0}^\infty \dfrac{2m+3}{2^m}+\dfrac{3}{2}+2=\dfrac{1}{2}\underbrace{\sum\limits_{m=1}^\infty \dfrac{2m+3}{2^m}}_S+3\dfrac{1}{2}\\ S=\dfrac{S}{2}+3\dfrac{1}{2}\Rightarrow S=7$

4 votes Thanks 4

igorShap Кстати говоря, идею нахождения вспомогательной суммы можно было применить и сразу к исходному ряду, расписав его член как 1/2 * (2(k-1)+3)/2^(k-1)+1/2^(k-1)

igorShap Добавил этот вариант

mathgenius Ну это бородатая задачка) Уже на так интересно

mathgenius Это как я называю: арифметико-геометрическая прогрессия. Можно вывести не только для арифметической прогрессии в числителе, можно для последовательности квадратов, кубов и n- степеней в числителе

Answers & Comments

Verified answer

26 63b9ab396808d

cad 2acd ac 13a bd 5a ab cd 20cosacd

1 2 3 63b505c6451fa

29 63b02c08ea272

ffe5c19c3b7668ef4b1b554dfa8e77e1

24 63a4d227223ad

23 63988ccb1497a

8677591cd58e85d13b711fd8b4752961

36a6351b4815d8a6c4d5d199a568622b

968e206e45529dfb33b275d95e879228

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social