с2...

July 2022 1 5 Report

Небольшой шарик массы m=200 г уронили без начальной скорости с высоты H=40 м. Шарик упал на Землю через t≈3 с со скоростью V≈26 м/с. Известно, что сила сопротивления воздуха, действующая на шарик, прямо пропорциональна его скорости относительно воздуха: F⃗ с=−αv⃗ . Найдите коэффициент α. Ветра в области падения шарика нет, ускорение свободного падения считайте равным g≈10 м/с2.

Answers & Comments

Leon8634

Verified answer

Ответ:

0,02 Н*с/м

Объяснение:

На шарик действуют две силы - сила тяжести, направленная вниз и сила сопротивления воздуха, направленная вверх. Второй закон Ньютона в проекции на ось y запишется в виде

$-ma=\alpha v-mg$

Или, в дифференциальной форме

$-m\frac{d^2y}{dt^2}=\alpha \frac{dy}{dt}-mg$

Однако ускорение $\frac{d^2y}{dt^2}=\frac{dv}{dt}$ , значит

$-m\frac{dv}{dt}=\alpha \frac{dy}{dt}-mg$

Поместим правую часть под знак дифференциала

$-m\frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}(\alpha y-\int {mg} \, dt )=\frac{d}{dt}(\alpha y-mgt)$

Перенесем все в левую часть

$\frac{d}{dt}(-mv-\alpha y+mgt)=0$

Значит выражение в скобках является постоянной величиной

$\int\ {\frac{d}{dt}(-mv-\alpha y+mgt)\,dt=\int {0} \, dt =-mv-\alpha y+mgt=C$

Константу интегрирования найдем из начальных условий $t=0, v(0)=0, y(0)=40$

$C=-0.2*0-40\alpha +0.2*10*0=-40\alpha$

Значит

$-mv-\alpha y+mgt=-40\alpha$

Рассмотрим теперь конечное состояние тела ( $t=3, v=26,y=0$ ), подставив все это в полученное уравнение найдем коэффициент сопротивления (знак минус возник из-за не совсем правильного выбора направления оси у, на самом деле ось надо было направить вниз, поэтому просто возьмем значение по модулю, решение было проверено через точное решение дифференциального уравнения но эти выкладки здесь будут излишними ввиду их громоздкости и сложности)