Ответ:

Значение выражения равно 2.

Объяснение:

Упростить выражение:

[tex]\dfrac{cos\alpha -cos3\alpha +cos5\alpha -cos 7\alpha }{sin\alpha +sin3\alpha +sin5\alpha +sin7\alpha } \cdot2 ctg\alpha[/tex]

Воспользуемся формулами :

[tex]cos\alpha -cos\beta =-2sin\dfrac{\alpha -\beta }{2} \cdot sin\dfrac{\alpha +\beta }{2};\\\\sin\alpha +sin\beta =2sin\dfrac{\alpha +\beta }{2} \cdot cos\dfrac{\alpha -\beta }{2}[/tex]

и преобразуем дробь

[tex]\dfrac{cos\alpha -cos3\alpha +cos5\alpha -cos 7\alpha }{sin\alpha +sin3\alpha +sin5\alpha +sin7\alpha } \cdot 2ctg\alpha= \dfrac{-2sin(-\alpha )\cdot sin2\alpha -2sin (-\alpha )\cdot sin6\alpha }{2sin2\alpha \cdot cos (-\alpha )+2sin 6\alpha \cdot cos(-\alpha )} \cdot\\\\ \cdot 2ctg\alpha[/tex]

Воспользуемся тем, что

[tex]sin(-\alpha )=-sin\alpha ;\\cos(-\alpha )=cos\alpha[/tex]

и получим

[tex]\dfrac{2sin\alpha \cdot sin2\alpha +2sin\alpha \cdot sin6\alpha }{2sin2\alpha \cdot cos\alpha +2sin6\alpha \cdot cos \alpha } \cdot 2ctg\alpha =\dfrac{2sin\alpha (sin2\alpha +sin6\alpha )}{2cos\alpha (sin2\alpha +sin6\alpha) } \cdot 2ctg\alpha =\\\\=\dfrac{sin\alpha }{cos\alpha } \cdot \dfrac{2cos\alpha }{sin\alpha } =\dfrac{2sin\alpha \cdot cos\alpha }{cos\alpha \cdot sin\alpha } =2[/tex]

Значит, значение выражения равно 2.

#SPJ1