Найти наибольшее значение функции y=sin^2(2x) / sin^4(x)+cos^4(x). Created by знаток12345. algebra-ru

sin^4(x)+cos^4(x)...

June 2022 1 16 Report

Найти наибольшее значение функции y=sin^2(2x) / sin^4(x)+cos^4(x)

Answers & Comments

flsh $y= \frac{sin^22x}{sin^4x+cos^4x} =\frac{sin^22x}{(sin^4x+2sin^2x*cos^2x+cos^4x)-2sin^2x*cos^2x} =$ $\frac{sin^22x}{(sin^2x+cos^2x)^2-2sin^2x*cos^2x}=\frac{sin^22x}{1- \frac{sin^22x}{2}}=\frac{2sin^22x}{2- sin^22x} \\ y'=2* \frac{2sin2x*cos2x*2*(2- sin^22x)-sin^22x*(-2sin2x*cos2x*2)}{(2- sin^22x)^2}=$ $2* \frac{4sin2x*cos2x*(2- sin^22x+sin^22x)}{(2- sin^22x)^2} =\frac{8sin4x}{(2- sin^22x)^2}$
В точке экстремума y' = 0.
$\frac{8sin4x}{(2- sin^22x)^2}=0$
sin 4x = 0
4x = πn, n ∈ Z
x = πn/4, n ∈ Z
Среди этих экстремумов максимумы: x = π/4 + πn/2, n ∈ Z.
Максимальное значение функции:
$y_{max}=y( \frac{ \pi }{4} )=\frac{sin^2(2*\frac{ \pi }{4})}{sin^4\frac{ \pi }{4}+cos^4\frac{ \pi }{4}}=\frac{sin^2\frac{ \pi }{2}}{sin^4\frac{ \pi }{4}+cos^4\frac{ \pi }{4}}=\frac{1}{ (\frac{ \sqrt{2} }{2}) ^4+(\frac{ \sqrt{2} }{2}) ^4}=\frac{1}{ \frac{1 }{4}+\frac{1 }{4}}=2$

2 votes Thanks 3

знаток12345 спасибо за проделанную работу

Answers & Comments

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social