[tex]\sin^2x-(a+3)\sin x+2a+2=0[/tex]

Заметим, что это уравнение квадратное при любых значениях а, так как старший коэффициент не зависит от а и равен 1.

Решаем квадратное уравнение относительно синуса. Находим дискриминант:

[tex]D=(-(a+3))^2-4\cdot1\cdot(2a+2)=[/tex]

[tex]=a^2+6a+9-8a-8=a^2-2a+1=(a-1)^2[/tex]

Находим корни:

[tex]\sin x=\dfrac{a+3\pm(a-1)}{2}[/tex]

[tex]\sin x_1=\dfrac{a+3+(a-1)}{2} =\dfrac{a+3+a-1}{2} =\dfrac{2a+2}{2} =a+1[/tex]

[tex]\sin x_2=\dfrac{a+3-(a-1)}{2} =\dfrac{a+3-a+1}{2} =\dfrac{4}{2} =2[/tex]

Так как синус любого аргумента принимает свои значения из отрезка от -1 до 1, то второе полученное уравнение [tex]\sin x_2=2[/tex] не имеет корней. Первое полученное уравнение [tex]\sin x_1=a+1[/tex] будет иметь корни, когда его правая часть будет принимать значение из указанного отрезка:

[tex]-1\leqslant a+1\leqslant1[/tex]

[tex]-1-1\leqslant a\leqslant1-1[/tex]

[tex]-2\leqslant a\leqslant0[/tex]

Таким образом, при [tex]a\in[-2;\ 0][/tex] заданное уравнение имеет решения.

Ответ: при [tex]a\in[-2;\ 0][/tex]