получаем уравнение - однородное тригонометрическое уравнение. Такие уравнения традиционно решаются путём деления обеих частей на либо на . Поделим на косинус.
P.S.: здесь надо остановиться и отметить, почему можно разделить на синус, либо косинус. Как мы знаем, имеем право делить лишь на выражения, которые нигде в своей области определения не обращаются в 0. Почему косинус нигде не обратится в 0? Предположим обратное. Пусть . Но тогда из самого уравнения находим, что и . Может ли такое быть? Нет, не может. В силу основного тригонометрического тождества - противоречие. Поэтому косинус ВСЮДУ отличен от 0 и можно на него разделить, что мы и сделали.
Пусть теперь . Тогда у нас имеется уравнение вида:
Помножим обе части на с условием, разумеется, что Имеем систему:
Разбираемся с первым уравнением. Оно тоже однородное(сводится к нему), только уже второй степени.
Здесь уже хорошо видно, что если ,то уравнение имеет вид:
Отсюда или
Последнее уравнение тоже однородное, мы поделили на . Решения первого уравнения также удовлетворяют неравенству, поскольку если cos x = 0, то sin x = 1.
Пусть Тогда делим обе части на
Пусть ctg x = t . Это уравнение является квадратным, поскольку Его дискриминант
Далее рассмотрим такие случаи: 1), тогда квадратное уравнение относительно котангенса не имеет корней. исходное уравнение не имеет корней. Это произойдёт при:
Ищем корни квадратного трёхчлена:
Решая неравенство, получаем, что при ∈∞∪+∞ исходное уравнение не имеет решений.
2)Если же , то есть , что происходит при ∈∪∪,то квадратное уравнение имеет два различных корня:
Возвращаемся обратно к x:
или
Вписываются ли эти серии в условие ? Пусть . Тогда из уравнения моментально получаем, что
, откуда либо a = 0(мы уже рассмотрели его), либо (что невозможно). То есть, все наши серии являются решениями уравнения при всех указанных а.
3)Осталось рассмотреть две граничные точки(при которых D = 0). а)Если , то - здесь тоже синус явно отличен от 0. б)Если , то
Таким образом, можем записать ответ к задаче в таком виде: Ответ: при - уравнение не имеет решений; при уравнение имеет две серии решений ; при уравнение имеет единственную серию решений ; при аналогично ; при решений нет.
4 votes Thanks 4
Kulakca
если непонятно, как получен ответ, я поясню. При отдельных а полученные серии решений - это частные случаи серий, зависящих от параметра, в связи с чем эти точки стоит прикреплять к концам соответствующих интервалов.
Змей24
Есть же такая формула: 1 + ctg^2(x) = 1/sin^2(x)
Answers & Comments
Verified answer
Рассмотрим случай, когдаполучаем уравнение
- однородное тригонометрическое уравнение. Такие уравнения традиционно решаются путём деления обеих частей на либо на . Поделим на косинус.
P.S.: здесь надо остановиться и отметить, почему можно разделить на синус, либо косинус. Как мы знаем, имеем право делить лишь на выражения, которые нигде в своей области определения не обращаются в 0. Почему косинус нигде не обратится в 0? Предположим обратное. Пусть . Но тогда из самого уравнения находим, что и . Может ли такое быть? Нет, не может. В силу основного тригонометрического тождества - противоречие. Поэтому косинус ВСЮДУ отличен от 0 и можно на него разделить, что мы и сделали.
Пусть теперь . Тогда у нас имеется уравнение вида:
Помножим обе части на с условием, разумеется, что
Имеем систему:
Разбираемся с первым уравнением. Оно тоже однородное(сводится к нему), только уже второй степени.
Здесь уже хорошо видно, что если ,то уравнение имеет вид:
Отсюда или
Последнее уравнение тоже однородное, мы поделили на . Решения первого уравнения также удовлетворяют неравенству, поскольку если cos x = 0, то sin x = 1.
Пусть Тогда делим обе части на
Пусть ctg x = t
.
Это уравнение является квадратным, поскольку Его дискриминант
Далее рассмотрим такие случаи:
1), тогда квадратное уравнение относительно котангенса не имеет корней. исходное уравнение не имеет корней. Это произойдёт при:
Ищем корни квадратного трёхчлена:
Решая неравенство, получаем, что при
∈∞∪+∞ исходное уравнение не имеет решений.
2)Если же , то есть ,
что происходит при ∈∪∪,то квадратное уравнение имеет два различных корня:
Возвращаемся обратно к x:
или
Вписываются ли эти серии в условие ?
Пусть . Тогда из уравнения моментально получаем, что
, откуда либо a = 0(мы уже рассмотрели его), либо (что невозможно). То есть, все наши серии являются решениями уравнения при всех указанных а.
3)Осталось рассмотреть две граничные точки(при которых D = 0).
а)Если , то
- здесь тоже синус явно отличен от 0.
б)Если , то
Таким образом, можем записать ответ к задаче в таком виде:
Ответ: при - уравнение не имеет решений; при уравнение имеет две серии решений ; при уравнение имеет единственную серию решений
; при аналогично ; при решений нет.