Найдите границу: [tex] \lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^{a}-1}{x}[/tex]. Created by Змей24. algebra-ru

tex]...

Змей24 @Змей24

August 2022 1 38 Report

Найдите границу: [tex] \lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^{a}-1}{x}[/tex]

Answers & Comments

Newtion

Verified answer

Если подставим значение x=0 получим неопределенность вида 0/0.
Очевидно что функции $f(x)=(1+x)^a-1, \,g(x)=x$ дифференцируемы в любой точке, следовательно они дифференцируемы в окрестности точки x=0. Очевидно что $g'(x)\ne 0$ .

Найдем следующий предел:

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f'(x)}{g'(x)}= \lim_{x \to 0} \frac{a\cdot (1+x)^{a-1}}{1}= \lim_{x \to 0} a\cdot (1+x)^{a-1}=a$ .

Следовательно, по правилу Лопиталя:

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^{a}-1}{x} =a$

3 votes Thanks 2