x, а дальше как?...

August 2022 1 30 Report

Задача для 11 класса, правило Лопиталя, ряды Тейлора и т. д. использовать нельзя.
[tex] \lim_{x \to 0} \frac{e^{ax}-e^{bx}}{x} [/tex]. Сделал (e^(ax)-1)/x - (e^(bx)-1)/x, а дальше как?

Answers & Comments

Kulakca $\lim_{x \to 0} \frac{ e^{ \alpha x} - e^{ \beta x} }{x} = \lim_{x \to 0} \frac{( e^{ \alpha x} - 1) - ( e^{ \beta x} - 1) }{x} = \lim_{x \to 0} \frac{ e^{ \alpha x} - 1}{x} - \\ - \lim_{x \to 0} \frac{ e^{ \beta x} - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{ e^{ \alpha x} -1}{ \frac{ \alpha x}{ \alpha } } - \lim_{x \to 0} \frac{ e^{ \beta x} - 1 }{ \frac{ \beta x}{ \beta } } = \alpha \lim_{x \to 0} \frac{ e^{ \alpha x}-1 }{x} - \\ - \beta \lim_{x \to 0} \frac{ e^{ \beta x} - 1 }{x}$

И далее, учитывая, что $\lim_{x \to 0} \frac{ e^{ \alpha x} - 1}{ \alpha x} = 1, \lim_{x \to 0} \frac{ e^{ \beta x} - 1}{ \beta x} = 1$ (как четвёртые замечательные пределы), получаем, что исходный предел равен $\alpha * 1 - \beta * 1 = \alpha - \beta$

1 votes Thanks 0

Змей24 Спасибо!

Answers & Comments

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social