Спасите умоляю! Решить тригонометрическое уравнение: 2*arcsin(x) = arccos(x). Created by Змей24. matematika-ru

ОДЗ х∈[-1;1].Применим cos к обеим частям.Получаемcos(2arcsin(x))=cos(arccos(x))cos(2arcsin(x))=xПо формуле двойного углаcos(2a)=1-2sin²a, получаем1-2sin²(arcsin(x))=х1-2*х²=х2х²+х-1=0D=1-4(-1)*2=1-8=9=3²x₁=-1 x₂=0,5Проверим подстановкой.x₁=-1 2*arcsin(-1) = arccos(-1)-π=π - равенство неверно.Значит x₁=-1 - не является корнем.Проверим x₂=0,5.Подставим в уравнение2*arcsin(0,5) = arccos(0,5) - равенство верно.Значит х=0,5 - корень уравнения.Ответ: х=0,5.

Спасите умоляю! Решить тригонометрическое уравнение: 2*arcsin(x) = arccos(x)...

Змей24 @Змей24

July 2022 1 23 Report

Спасите умоляю! Решить тригонометрическое уравнение: 2*arcsin(x) = arccos(x)

Answers & Comments

bearcab ОДЗ х∈[-1;1].

Применим cos к обеим частям.

Получаем

cos(2arcsin(x))=cos(arccos(x))

cos(2arcsin(x))=x

По формуле двойного угла

cos(2a)=1-2sin²a, получаем

1-2sin²(arcsin(x))=х

1-2*х²=х

2х²+х-1=0

D=1-4(-1)*2=1-8=9=3²

$x_{1,2}=\frac{-1\pm3}{2*2}$

x₁=-1 x₂=0,5

Проверим подстановкой.

x₁=-1

2*arcsin(-1) = arccos(-1)

$2*(-\frac{\pi}{2})=\pi$

-π=π - равенство неверно.

Значит x₁=-1 - не является корнем.

Проверим x₂=0,5.

Подставим в уравнение

2*arcsin(0,5) = arccos(0,5)

$2*\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{3}$

$\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{3}$ - равенство верно.

Значит х=0,5 - корень уравнения.

Ответ: х=0,5.

Змей24 Вы хотите сказать, что не только acos(cos(x)) = x, но и cos(acos(x)) = x? Всегда?

bearcab Не всегда. Поэтому и есть ОДЗ с проверкой.

Answers & Comments

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social