[tex]$\exists f'(0)\Leftrightarrow \exists \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\infty $[/tex] только если существует конечный предел из [tex]$\underset{{}}{\mathop{\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\, \frac{{\left| x \right|}^{\alpha }}\sin \frac{1}{x}{x}}}\,=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,{{\left| x \right|}^{\alpha -1}}\sin \frac{1}{x}=0$[/tex], следовательно [tex]$\alpha > 1$[/tex]