1) Непрерывна, если [tex]$\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f(0)\Leftrightarrow \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,{{\left| x \right|}^{\alpha }}\sin \frac{1}{x}=0$[/tex] и это верно для всех [tex]$\alpha > 0$[/tex] (теорема о сжатии)

2) Производная: [tex]$\exists f'(0)\Leftrightarrow \exists \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\text{finite}=\infty $[/tex] только если существует конечный предел из [tex]$\underset{{}}{\mathop{\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\, \frac{{\left| x \right|}^{\alpha }}\sin \frac{1}{x}{x}}}\,=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,{{\left| x \right|}^{\alpha -1}}\sin \frac{1}{x}=0$[/tex], следовательно [tex]$\alpha > 1$[/tex]

3) Непрерывная производная [tex]$f(a)\leq 1, \; f(x)=\frac{y_x-y_0}{x}\Rightarrow \lim\left (f(x_n)-f(y) \right )=\lim xn^{1-\alpha }\neq 0\Rightarrow \alpha > 2$[/tex]