Verified answer

Ответ:

5357

Объяснение:

Изящного решения не получилось, но кое-какие соображения есть. Заметим, что

          10403=10300+103=103(100+1)=103·101=(102+1)·(102-1)=102²-1.

Поскольку

[tex]204^{102}=102^{102}\cdot 2^{102}=(102^{102}-1)\cdot 2^{102}+2^{102}=\left((102^{2})^{51}-1\right)\cdot 2^{102}+2^{102}=[/tex]

          [tex]=(102^{2}-1)\left((102^2)^{50}+(102^2)^{49}+\ldots +102^2+1\right)\cdot 2^{102}+2^{102},[/tex]

остаток от деления [tex]204^{102}[/tex] на 10403 совпадает с остатком от деления

[tex]2^{102}[/tex] на 10403.

                                  [tex]2^{102}=2^{17\cdot 6}=(2^{17})^6=131072^6;[/tex]

                                     [tex]131072=10403\cdot 12+6236,[/tex]

поэтому остается найти остаток от деления [tex]6236^6[/tex] на 10403.

                           [tex]6236^2=38887696=10403\cdot 3738+1282,[/tex]

поэтому остается найти остаток от деления 1282³ на 10403.

                        [tex]1282^3=2106997768=10403\cdot 202537+5357,[/tex]

поэтому ответом в задаче (если я не ошибся) служит число 5357.