Verified answer

Ответ:

7.

Объяснение:

Заметим, что 105=3·5·7.

Разберемся сначала с делимостью исследуемой суммы на 3. Поскольку [tex]5^y+7^z[/tex] должно делиться на 3, а 5 сравнимо с минус 1 по модулю 3, 7 сравнимо с 1 по модулю 3, делаем. вывод, что

                                    y - нечетное число.

Если, например, y=1, а x=2, [tex]5^y=5^1=5[/tex] сравнимо с минус 2 по модулю 7, а [tex]3^x=3^2=9[/tex]  сравнимо с 2 по модулю 7, то есть кроме делимости левой части на 3 мы обеспечили делимость на 7. Перебрав маленькие значения z, находим, что z=4 обеспечивает делимость и на 5:   3²=9 сравнимо с минус 1 пор модулю 5, [tex]7^4\equiv 2^4\equiv 1\ (\mod 5).[/tex] Итак, набор x=2; y=1; z=4 нам подходит, x+y+z=7.

Докажем, что уменьшить эту сумму нельзя. Ясно, что достаточно ограничиться значениями неизвестных от 1 до 4, поэтому y=1 или y=3.

Пусть y=1. Перебрав все x от 1 до 4, видим, что на 7 сумма [tex]3^x+5[/tex] делится только при x=2, и мы возвращаемся к уже найденной тройке x=2; y=1; z=4.

Пусть y=3. Тогда для x остаются только значения 1 и 2 (иначе x+y+z будет не меньше 7). Но оба случая мы отвергаем, поскольку нарушается делимость на 7.

Итак, доказано, что уменьшить сумму нельзя.