Пусть сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна a, а высота боковой грани равна h. Так как боковые грани представляют собой равнобедренные треугольники, то можно выразить диагональ основания d через a и h:

d^2 = a^2 + 4h^2

Также известно, что площадь боковой поверхности Sбок = 12 см^2. Сумма площадей боковых граней четырёхугольной пирамиды равна:

Sбок = 4 * (1/2 * a * h)

Sбок = 2ah

Отсюда можно выразить высоту боковой грани h через a и Sбок:

h = Sбок / 2a

Теперь можно подставить выражение для h в формулу для d:

d^2 = a^2 + 4h^2

d^2 = a^2 + 4(Sбок / 2a)^2

d^2 = a^2 + 4Sбок^2 / 4a^2

d^2 = a^2 + Sбок^2 / a^2

Так как площадь основания пирамиды является квадратом стороны a (Sосн = a^2), то можно записать формулу для площади поверхности пирамиды через a и d:

Sпов = Sосн + 4 * (1/2 * d * a)

Sпов = a^2 + 2ad

Теперь можно подставить выражение для d, выразив его через a и Sбок:

Sпов = a^2 + 2a * √(a^2 + Sбок^2 / a^2)

Так как известна площадь боковой поверхности Sбок = 12 см^2, то можно подставить это значение в формулу для площади поверхности пирамиды и выразить оттуда a:

12 = a^2 + 2a * √(a^2 + 12^2 / a^2)

Решить это уравнение аналитически достаточно сложно, поэтому воспользуемся численными методами. Программа-калькулятор даёт решение a ≈ 2,88 см.

Наконец, для вычисления длины апофемы воспользуемся формулой:

aп = (√2/2) * a

aп = (√2/2) * 2,88 ≈ 2,04 см.

Ответ: длина апофемы этой правильной четырёхугольной пирамиды составляет примерно 2,04 см.