Ответ:

[tex]2013\cdot\left(\dfrac{11+5\sqrt{5}}{2}\right)^{402}[/tex]

Объяснение:

Заметим, что число [tex]a=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}[/tex] является корнем квадратного уравнения [tex]a^2-3a+1=0[/tex]. Распишем f(2013), используя соотношение [tex]f(x+2)=f(x+1)-af(x)[/tex]:

[tex]f(2013)=f(2012)-af(2011)=f(2011)-af(2010)-af(2011)=\\=(1-a)f(2011)-af(2010)=(1-a)(f(2010)-af(2009))-af(2010)=\\=(1-2a)f(2010)-a(1-a)f(2009)=(1-2a)(f(2009)-af(2008))-\\-(a-a^2)f(2009)=(a^2-3a+1)f(2009)-a(1-2a)f(2008)[/tex]

Поскольку [tex]a^2-3a+1=0[/tex], то [tex]f(2013)=(2a^2-a)f(2008)[/tex].

Вычислим значение выражения [tex]b=2a^2-a[/tex], также используя, что [tex]a^2=3a-1[/tex]: [tex]2a^2-a=6a-2-a=5\cdot\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}-2=\dfrac{11+5\sqrt{5}}{2}[/tex].

Таким образом, для функции получили следующее рекуррентное соотношение: [tex]f(x)=bf(x-5)[/tex]. Его можно продолжить следующим образом:

[tex]f(x)=bf(x-5)=b\cdot bf(x-10)=b^2f(x-5\cdot 2)=b^3f(x-5\cdot 3)=\ldots\\ \ldots =b^nf(x-5n)[/tex]

Тогда [tex]f(2013)=b^{402}f(2013-5\cdot 402)=b^{402}f(3)=2013\cdot\left(\dfrac{11+5\sqrt{5}}{2}\right)^{402}[/tex].