Verified answer

Основное тригонометрическое тождество и следствие из него:

[tex]\sin^2x+\cos^2x=1\Rightarrow \cos^2x=1-\sin^2x[/tex]

Синус и косинус двойного угла:

[tex]\sin2x=2\sin x\cos x[/tex]

[tex]\cos2x=2\cos^2x-1[/tex]

Синус и косинус тройного угла:

[tex]\sin3x=3\sin x-4\sin^3 x[/tex]

[tex]\cos3x=4\cos^3x-3\cos x[/tex]

Преобразуем:

[tex]\dfrac{\sin3\alpha +\sin \alpha }{\cos3\alpha +\cos\alpha } =\dfrac{3\sin\alpha -4\sin^3\alpha +\sin \alpha }{4\cos^3\alpha -3\cos\alpha +\cos\alpha } =\dfrac{4\sin\alpha -4\sin^3\alpha }{4\cos^3\alpha -2\cos\alpha } =[/tex]

[tex]=\dfrac{4\sin\alpha(1 -\sin^2\alpha) }{2\cos\alpha(2\cos^2\alpha -1) } =\dfrac{2\sin\alpha\cdot \cos^2\alpha }{\cos\alpha\cdot\cos2\alpha } =\dfrac{2\sin\alpha\cos\alpha }{\cos2\alpha } =\dfrac{\sin2\alpha}{\cos2\alpha } =\mathrm{tg}\,2\alpha[/tex]