Verified answer

[tex]a^3+b^3=-6ab+8[/tex]

[tex]a^3+b^3+6ab-8=0[/tex]

Добавим и вычтем слагаемые так, чтобы образовалась формула куба суммы:

[tex]a^3+3a^2b+3ab^2+b^3-3a^2b-3ab^2+6ab-8=0[/tex]

[tex](a+b)^3-3ab(a+b-2)-8=0[/tex]

[tex](a+b)^3-2^3-3ab(a+b-2)=0[/tex]

[tex](a+b-2)((a+b)^2+2(a+b)+4)-3ab(a+b-2)=0[/tex]

[tex](a+b-2)((a+b)^2+2(a+b)+4-3ab)=0[/tex]

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю.

1 случай:

[tex]a+b-2=0[/tex]

[tex]a+b=2[/tex]

Заметим, что это как раз требуемая сумма.

2 случай:

[tex](a+b)^2+2(a+b)+4-3ab=0[/tex]

[tex]a^2+2ab+b^2+2a+2b+4-3ab=0[/tex]

[tex]a^2-ab+b^2+2a+2b+4=0[/tex]

[tex]a^2+(2-b)a+b^2+2b+4=0[/tex]

Решим квадратное уравнение относительно "а":

[tex]D=(2-b)^2-4(b^2+2b+4)=4-4b+b^2-4b^2-8b-16=[/tex]

[tex]=-3b^2-12b-12=-3(b^2+4b+4)=-3(b+2)^2\leqslant 0[/tex]

Уравнение имеет решение, только в случае [tex]-3(b+2)^2=0[/tex], то есть при [tex]b=-2[/tex].

Тогда, само решение уравнения:

[tex]a=-\dfrac{2-b}{2} =-\dfrac{2-(-2)}{2} =-2[/tex]

Требуемая сумма:

[tex]a+b=-2-2=-4[/tex]

Таким образом, сумма [tex]a+b[/tex] может принимать значение 2 или -4. Их произведение:

[tex]2\cdot(-4)=-8[/tex]

Ответ: -8