Ответ:

[tex]\dfrac{3}{5}[/tex]

Объяснение:

Рекуррентное соотношение перепишем в виде

[tex]c_{n+1}-c_n=-\dfrac{2}{3}\cdot\left(c_n - c_{n-1}\right), n\geq 3\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)[/tex]

Введем обозначение [tex]\Delta c_{k}=c_k-c_{k-1}[/tex]. Тогда [tex](1)[/tex] примет вид

[tex]\Delta c_{n+1}=-\dfrac{2}{3}\cdot \Delta c_{n}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)[/tex]

Начальное условие [tex]\Delta c_2=1-0=1[/tex].

Заметим, что

[tex]\sum\limits_{k=2}^n\Delta c_k=(c_2-c_1)+(c_3-c_2)+...+(c_n-c_{n-1})=c_n-c_1=c_n-0=c_n[/tex]. Соответственно, искомый предел равен [tex]\lim\limits_{n\to\infty}c_n=\sum\limits_{k=2}^\infty\Delta c_k[/tex].

Осталось заметить, что согласно [tex](2)[/tex] и начальному условию [tex]\Delta c_k[/tex] - бесконечно убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем [tex]-\dfrac{2}{3}[/tex] и начальным членом [tex]1[/tex].

Ее сумма равна

[tex]\sum\limits_{k=2}^\infty\Delta c_k=\dfrac{1}{1-\left(-\dfrac{2}{3}\right)}=\dfrac{3}{5}[/tex]