Verified answer

Ответ:

[tex]\dfrac{24}{25}[/tex]

Объяснение:

• Арктангенс числа - это угол α, тангенс которого равен этому числу.

• [tex]\alpha \in \left(-\dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}\right)[/tex]

[tex]\sin \left(2arctg\dfrac{3}{4}\right)[/tex]

По определению арктангенса:

[tex]arctg\dfrac{3}{4}=\alpha[/tex],    [tex]\alpha \in \left(-\dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}\right)[/tex],   [tex]tg\; \alpha =\dfrac{3}{4}[/tex]

[tex]\sin \left(2arctg\dfrac{3}{4}\right)=\sin2\alpha=2\sin\alpha\cdot\cos\alpha[/tex]

Зная значение тангенса угла, найдем его синус и косинус.

[tex]tg\; \alpha =\dfrac{3}{4}[/tex]

[tex]tg^2\alpha +1=\dfrac{1}{\cos^2\alpha}[/tex]

[tex]\cos^2\alpha=\dfrac{1}{tg^2\alpha +1}=\dfrac{1}{\left(\dfrac{3}{4}\right)^2+1}=\dfrac{1}{\dfrac{9}{16}+1}=\dfrac{16}{25}[/tex]

Так как [tex]\alpha \in \left(-\dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}\right)[/tex] , то [tex]\cos\alpha > 0[/tex].

[tex]\boldsymbol{\cos\alpha =\dfrac{4}{5}}[/tex]

[tex]\sin\alpha=tg\alpha\cdot \cos\alpha[/tex]

[tex]\boldsymbol{\sin\alpha}=\dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{4}{5}\boldsymbol{=\dfrac{3}{5}}[/tex]

Итак, получаем:

[tex]\boldsymbol{\sin \left(2arctg\dfrac{3}{4}\right)}=\sin2\alpha=2\sin\alpha\cdot\cos\alpha=2\cdot \dfrac{3}{5}\cdot \dfrac{4}{5}\boldsymbol{=\dfrac{24}{25}}[/tex]