Ответ:

Ответ на фото, удачи..!

Verified answer

Интегрирование по частям основано на следующей формуле:

[tex]\int u\,dv=uv-\int v\,du[/tex]

При интегрировании нам нужно что-то под знаком интеграла обозначить за [tex]u[/tex], а что-то - за [tex]dv[/tex]. Обратим внимание, что на основе этих обозначений для правой части нам нужно будет вычислить [tex]du[/tex] и [tex]v[/tex].

На основе вышесказанного, при выборе функций [tex]u[/tex] и [tex]v[/tex] обычно придерживаются следующих правил:

1. Функция [tex]u[/tex] при дифференцировании должна упрощаться (обычно в качестве этой функции выбирается многочлен, логарифм, арктангенс и т.п.)

2. Функция [tex]v[/tex] при интегрировании должна незначительно усложняться. Или другими словами, все что осталось после выбора функции [tex]u[/tex] обозначается за [tex]dv[/tex].

Рассматриваем первый интеграл:

[tex]\int x\cdot2^{-x} \, dx[/tex]

Удобно обозначить: [tex]u=x[/tex]. Тогда: [tex]du=dx[/tex].

Оставшееся выражение обозначаем за [tex]dv[/tex]:

[tex]dv=2^{-x} \, dx[/tex]

Проинтегрируем:

[tex]v=\int2^{-x} \, dx=-\int2^{-x} \, d(-x)=-\dfrac{ 2^{-x}}{\ln2}[/tex]

Интегрируем по частям:

[tex]\int x\cdot2^{-x} \, dx=x\cdot\left(-\dfrac{ 2^{-x}}{\ln2}\right)-\int\left(-\dfrac{ 2^{-x}}{\ln2}\right)\,dx=[/tex]

[tex]=-\dfrac{x}{2^x\ln2}+\dfrac{1}{\ln2}\int2^{-x}\,dx=-\dfrac{x}{2^x\ln2}+\dfrac{1}{\ln2}\cdot\left(-\dfrac{ 2^{-x}}{\ln2}\right)+C=[/tex]

[tex]=-\dfrac{x}{2^x\ln2}-\dfrac{ 2^{-x}}{\ln^22}+C=\boxed{-\dfrac{x}{2^x\ln2}-\dfrac{1}{2^x\ln^22}+C}[/tex]

Второй интеграл:

[tex]\int \dfrac{\ln x}{\sqrt{x} } \, dx[/tex]

Удобно обозначить [tex]u=\ln x[/tex], так как при дифференцировании мы сможем избавиться от логарифма:

[tex]du=\dfrac{dx}{x}[/tex]

Оставшееся выражение обозначаем за [tex]dv[/tex]:

[tex]dv=\dfrac{dx}{\sqrt{x} }[/tex]

Проинтегрируем:

[tex]v=\int\dfrac{dx}{\sqrt{x} }=2\int\dfrac{dx}{2\sqrt{x} }=2\sqrt{x}[/tex]

Интегрируем по частям:

[tex]\int \dfrac{\ln x}{\sqrt{x} } \, dx=\ln x\cdot 2\sqrt{x} -\int 2\sqrt{x}\cdot \dfrac{dx}{x} =2\sqrt{x}\ln x-2\int \dfrac{dx}{\sqrt{x} } =[/tex]

[tex]=2\sqrt{x}\ln x-2\cdot 2\sqrt{x} +C=\boxed{2\sqrt{x}\ln x-4\sqrt{x} +C}[/tex]