Verified answer

Ответ:

[tex]\dfrac{x}{\ln x}+C[/tex]

Объяснение:

Найти первообразную - найти неопределенный интеграл

[tex]f(x)=\ln^{-1}x-\ln^{-2}x[/tex]

Запишем интеграл

[tex]\displaystyle \int\big(\ln^{-1}x-\ln^{-2}x\big)\,dx=\int\Big(\dfrac{1}{\ln x}-\dfrac1{\ln^2x}\Big)\,dx[/tex]

Распишем интеграл резности как разность интегралов

[tex]=~\displaystyle\int\dfrac{1}{\ln x}\,dx-\int\dfrac1{\ln^2x}\,dx[/tex]

Применим к первому интегралу метод интегрирвоания по частям

[tex]\int u\,dv=uv-\int v\,du[/tex], где

[tex]\displaystyle u=\dfrac1{\ln x},~v=x~\Rightarrow~\int\dfrac1{\ln x}\,dx=\dfrac{x}{\ln x}-\int\dfrac{-1}{\ln^2 x}\,dx=\dfrac{x}{\ln x}+\int\dfrac1{\ln^2 x}[/tex]

Подставим значение первого интеграла и о чудо, страшные интегралы сокращаются!

[tex]=~\displaystyle\dfrac{x}{\ln x}+\int\dfrac{1}{\ln^2 x}\,dx-\int\dfrac1{\ln^2x}\,dx=\boxed{\dfrac{x}{\ln x}+C}[/tex]