Verified answer

[tex]C_n^n + C_{n+1}^n + C_{n+2}^n + \ldots + C^n_{n+k}= C^{n+1}_{n+k+1}[/tex]

Докажем соотношение методом математической индукции.

1. Проверим справедливость равенства при [tex]k=0[/tex]:

[tex]C_n^n = C^{n+1}_{n+0+1}[/tex]

[tex]C_n^n = C^{n+1}_{n+1}[/tex]

[tex]1=1[/tex]

Равенство верно.

2. Предположим, что при [tex]k=K[/tex] равенство верно:

[tex]C_n^n + C_{n+1}^n + C_{n+2}^n + \ldots + C^n_{n+K}= C^{n+1}_{n+K+1}[/tex]

3. Докажем, что при [tex]k=K+1[/tex] соотношение будет верным.

[tex]C_n^n + C_{n+1}^n + C_{n+2}^n + \ldots + C^n_{n+K}+ C^n_{n+K+1}=C^{n+1}_{n+(K+1)+1}[/tex]

Используя равенство, записанное на втором шаге, получим:

[tex]\left(C_n^n + C_{n+1}^n + C_{n+2}^n + \ldots + C^n_{n+K}\right)+ C^n_{n+K+1}=C^{n+1}_{n+(K+1)+1}[/tex]

[tex]C^{n+1}_{n+K+1}+ C^n_{n+K+1}=C^{n+1}_{n+K+2}[/tex]

Данное равенство, связывающее биноминальные коэффициенты, является верным. В частности, оно используется в треугольнике Паскаля.

В более простом виде оно записывается как:

[tex]C^k_n+ C^{k+1}_n=C^{k+1}_{n+1}[/tex]

Для доказательства этого соотношения, распишем формулы в левой части и приведем полученные выражения к общему знаменателю:

[tex]C^k_n+ C^{k+1}_n=\dfrac{n!}{k!\cdot (n-k)!}+ \dfrac{n!}{(k+1)!\cdot (n-k-1)!}=[/tex]

[tex]=\dfrac{n!\cdot (k+1)}{k!\cdot (k+1)\cdot (n-k)!}+ \dfrac{n!\cdot (n-k)}{(k+1)!\cdot (n-k-1)!\cdot (n-k)}=[/tex]

[tex]=\dfrac{n!\cdot (k+1)}{(k+1)!\cdot (n-k)!}+ \dfrac{n!\cdot (n-k)}{(k+1)!\cdot (n-k)!}=[/tex]

[tex]=\dfrac{n!\cdot (k+1+n-k)}{(k+1)!\cdot (n-k)!}=\dfrac{n!\cdot (n+1)}{(k+1)!\cdot (n-k)!}=\dfrac{(n+1)!}{(k+1)!\cdot (n-k)!}=C_{n+1}^{k+1}[/tex]

Таким образом:

[tex]C_n^n + C_{n+1}^n + C_{n+2}^n + \ldots + C^n_{n+k}= C^{n+1}_{n+k+1}[/tex]

Или:

[tex]\sum\limits_{i=0}^k C^n_{n+i}= C^{n+1}_{n+k+1}=\sum\limits_{i=0}^k C^i_{n+i}[/tex]