[tex]\displaystyle \left \{ {{x^2+y^2=4} \atop {y-x^2=4-4x}} \right.~~\Rightarrow~~\left \{ {{x^2-4+(x-2)^2=0} \atop {y=(x-2)^2}} \right.[/tex]

[tex](x-2)(x+2)+(x-2)^4=0[/tex]

[tex](x-2)(x+2+(x-2)^3)=0[/tex]

Находим [tex]x_1=2[/tex];  [tex]y_1=0[/tex]

[tex]x+2+(x-2)^3=0[/tex]

[tex]x^3-6x^2+12x-8+x+2=0[/tex]

[tex]x^3-6x^2+13x-6=0[/tex]

По формуле Кардано

[tex]x_2=\dfrac{6+\sqrt[3]{-54+3\sqrt{327}}+\sqrt[3]{-54-3\sqrt{327}}}{3}[/tex]

Тогда [tex]y_2=\dfrac{-6+\sqrt[3]{-5859-324\sqrt{327}}+\sqrt[3]{5859+324\sqrt{327}}}{9}[/tex]

Verified answer

Ответ:

[tex]x=\sqrt[3]{-2+\frac{\sqrt{327} }{9} } -\sqrt[3]{2+\frac{\sqrt{327} }{9} } +2[/tex]

[tex]y=\sqrt[3]{\frac{217}{27}-\frac{4\sqrt{327} }{9} } +\sqrt[3]{\frac{217}{27}+\frac{4\sqrt{327} }{9} } -\frac{2}{3}[/tex]

Объяснение:

[tex]\left \{ {{x^2 + y^2 = 4} \atop {y - x^2 =4-4x}} \right.[/tex]

• Не нашел лучшего решения, чем простое выражение у из второго уравнения системы:

[tex]\left \{ {{x^2+y^2=4} \atop {y=x^2-4x+4}} \right. \\\\x^2+(x^2-4x+4)^2=4\\x^2+((x-2)^2)^2=4\\x^2+(x-2)^4=4\\(x-2)^4+x^2-4=0\\(x-2)^4+(x-2)(x+2)=0\\(x-2)((x-2)^3+x+2)=0\\x_{1} =2\\(x-2)^3+x+2=0\\x^3-6x^2+12x-8+x+2=0\\x^3-6x^2+13x-6=0\\[/tex]

• Воспользуемся ф-лой Кардано:

[tex]x^3-6x^2+13x-6=0\\a=-6\\b=13\\c=-6\\x=k-\frac{a}{3} =k+2\\(k+2)^3-6(k+2)^2+13(k+2)-6=k^3+k+4[/tex]

• Приведенное выше уравнение с k можно представить как:

[tex]k^3+k+4=k^3+3pk+2q\\p=\frac{1}{3} \\q=2[/tex]

• Дальше по готовой формуле находим k:

[tex]k=\sqrt[3]{-q+\sqrt{q^2+p^3} }+\sqrt[3]{-q-\sqrt{q^2+p^3} }\\k=\sqrt[3]{-2+\sqrt{2^2+(\frac{1}{3} )^3} } +\sqrt[3]{-2-\sqrt{2^2+(\frac{1}{3} )^3} }=\sqrt[3]{-2+\frac{\sqrt{327} }{9} } -\sqrt[3]{2+\frac{\sqrt{327} }{9} }[/tex]

• Делаем обратную замену:

[tex]x = k+2\\x=\sqrt[3]{-2+\frac{\sqrt{327} }{9} } -\sqrt[3]{2+\frac{\sqrt{327} }{9} } +2[/tex]

• Подставляем в любое уравнение системы для нахождения y, к примеру в уравнение 2:

[tex]y=(\sqrt[3]{-2+\frac{\sqrt{327} }{9} } -\sqrt[3]{2+\frac{\sqrt{327} }{9} } +2)^2-4(\sqrt[3]{-2+\frac{\sqrt{327} }{9} } -\sqrt[3]{2+\frac{\sqrt{327} }{9} } +2)+4\\y=\sqrt[3]{\frac{217}{27}-\frac{4\sqrt{327} }{9} } +\sqrt[3]{\frac{217}{27}+\frac{4\sqrt{327} }{9} } -\frac{2}{3}[/tex]

• Это и есть наш ответ!