Verified answer

Ответ:

[tex]4+2\sqrt{3}\pm\sqrt{34+20\sqrt{3}}[/tex]

Пошаговое объяснение:

Отметим для начала, что должно выполняться условие [tex]x^3+1\geq 0\Leftrightarrow x^3\geq-1\Leftrightarrow x\geq-1[/tex].

Заметим, что [tex]x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)[/tex], а [tex]x^2+2=(x+1)+(x^2-x+1)[/tex].

Соответственно, разделив обе части на [tex]x+1[/tex], получим (подстановкой x=-1 получаем, что он не является корнем исходного уравнения; при этом [tex]x+1 > -1+1=0[/tex]) равносильное уравнение:

[tex]1+\dfrac{x^2-x+1}{x+1}=4\sqrt{\dfrac{x^2-x+1}{x+1}}[/tex]

Это квадратное уравнение относительно [tex]\sqrt{\dfrac{x^2-x+1}{x+1}}[/tex].

Тогда

[tex]\sqrt{\dfrac{x^2-x+1}{x+1}}=\dfrac{4\pm\sqrt{16-4}}{2}=2\pm\sqrt{3}[/tex]

Обе части равенств неотрицательны, возведем в квадрат:

[tex]\dfrac{x^2-x+1}{x+1}=7\pm 4\sqrt{3}[/tex]

Домножим на [tex]x+1\neq 0[/tex] :

[tex]x^2-x+1=(7\pm 4\sqrt{3})(x+1)\\ x^2-(8\pm 4\sqrt{3})x-(6\pm 4\sqrt{3})=0[/tex]

1. Случай плюсов:

[tex]x=\dfrac{8+4\sqrt{3}\pm\sqrt{(8+4\sqrt{3})^2+4(6+ 4\sqrt{3})}}{2}=\\ =\dfrac{8+4\sqrt{3}\pm\sqrt{64+64\sqrt{3}+48+24+16\sqrt{3}}}{2}=\dfrac{8+4\sqrt{3}\pm\sqrt{136+80\sqrt{3}}}{2}=\\ =4+2\sqrt{3}\pm\sqrt{34+20\sqrt{3}}[/tex]

Корень с плюсом, очевидно, неотрицательный, а значит и в ОДЗ попадает.
Проверим корень с минусом, сравнив его с -1:

[tex]4+2\sqrt{3}-\sqrt{34+20\sqrt{3}}-(-1)=5+2\sqrt{3}-\sqrt{34+20\sqrt{3}}=\\ =\sqrt{37+20\sqrt{3}}-\sqrt{34+20\sqrt{3}} > 0[/tex]

Значит [tex]4+2\sqrt{3}-\sqrt{34+20\sqrt{3}} > -1[/tex] и попадает в ОДЗ.
Оба значения являются корнями исходного уравнения.

2. Случай минусов:

Дискриминант

[tex](8-4\sqrt{3})^2+4(6- 4\sqrt{3})=4\cdot(16-16\sqrt{3}+12+6- 4\sqrt{3})=\\ =4\cdot(34-20\sqrt{3})=8\cdot(17-10\sqrt{3})=8\cdot(\sqrt{289}-\sqrt{300}) < 0[/tex]

Здесь корней нет.