Ответ:

[tex]$\alpha = \frac{\pi}{2}$[/tex]  

та

     [tex]-\frac{\pi}{2}$[/tex]

Объяснение:

[tex]$\sin^2 \alpha + \sin(\frac{\pi}{3}+\alpha) \sin(\frac{\pi}{3}-\alpha)$[/tex]

[tex]$= \sin^2 \alpha + \frac{1}{2}[\cos(\alpha)\sin(\frac{\pi}{3})+\sin(\alpha)\cos(\frac{\pi}{3})][\cos(\alpha)\sin(\frac{\pi}{3})-\sin(\alpha)\cos(\frac{\pi}{3})]$[/tex]

[tex]$= \sin^2 \alpha + \frac{1}{2}[\frac{\sqrt{3}}{2}\cos(\alpha)+\frac{1}{2}\sin(\alpha)][\frac{\sqrt{3}}{2}\cos(\alpha)-\frac{1}{2}\sin(\alpha)]$[/tex][tex]$= \sin^2 \alpha + \frac{1}{4}[\frac{3}{4}\cos^2(\alpha)-\frac{1}{4}\sin^2(\alpha)]$[/tex]

[tex]$= \frac{3}{4}\sin^2 \alpha + \frac{3}{16}\cos^2(\alpha)$[/tex]

Тепер ми можемо записати рівняння у наступному вигляді:

[tex]$\frac{3}{4}\sin^2 \alpha + \frac{3}{16}\cos^2(\alpha) = \frac{3}{4}$[/tex]

Множачею обох частин на [tex]$\frac{16}{3}$[/tex]  ми отримуємо:

[tex]$4\sin^2 \alpha + \cos^2(\alpha) = 4$[/tex]

Використовуючи тригонометричну тотожність [tex]$\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$[/tex], ми можемо записати:

[tex]$4\sin^2 \alpha + 1 - \sin^2 \alpha = 4$$3\sin^2 \alpha = 3$$\sin^2 \alpha = 1$[/tex]

Оскільки [tex]$\sin^2 \alpha$[/tex] не може бути більше 1, ми можемо зробити висновок, що [tex]$\sin^2 \alpha = 1$[/tex] означає, що [tex]$\sin \alpha = \pm 1$[/tex]. Таким чином, рівняння має два розв'язки: [tex]$\alpha = \frac{\pi}{2}$[/tex] та [tex]$\alpha = -\frac{\pi}{2}$[/tex].