Verified answer

Ответ:

 [tex]x\in\left[-\dfrac{19}{4};-\dfrac{13}{3}\right)\cup\left[\dfrac{9}{4};\dfrac{8}{3}\right).[/tex]

Объяснение:

Сделав замену [tex]x+\dfrac{7}{3}=t;[/tex] получаем уравнение

       [tex][t]^2-\left[t-\dfrac{55}{12}\right]=16;\ [t]^2-\left[t-4-\dfrac{7}{12}\right]=16;\ [t]^2-\left[t-\dfrac{7}{12}\right]+4=16;[/tex]

                                           [tex][t]^2-\left[t-\dfrac{7}{12}\right]=12.[/tex]

Заметим, что [tex]\left[t-\dfrac{7}{12}\right]\le [t],[/tex] поэтому [tex][t]^2-\left[t-\dfrac{7}{12}\right]\ge [t]^2-[t].[/tex]

Выясним, при каких t    [t]²-[t]>12, то есть ([t]-4)([t]+3)>0⇔

                             [t]∈(-∞;-3)∪(4;+∞)⇔t∈(-∞;-3)∪[5;+∞).

Такие t нас точно не устраивают, поэтому получаем ограничение

                                                       t∈[-3;5).

Заметим также, что [tex]\left[t-\dfrac{7}{12}\right]\ge[t]-1,[/tex] поэтому

                                   [tex][t]^2-\left[t-\dfrac{7}{12}\right]\le[t]^2-[t]+1.[/tex]

Те t, при которых [t]^2-[t]+1<12, нас также не устраивают:

 [tex][t]^2-[t]-11 < 0; [t]\in\left(\dfrac{1-\sqrt{45}}{2};\dfrac{1+\sqrt{45}}{2}\right)\supset [-2;3].[/tex]

Итак, выкидываем t, при которых [t]∈[-2;3], то есть t∈[-2;4).

Учитывая полученное раньше ограничение, получаем, что остается исследовать  [tex]t\in [-3;-2)\cup [4;5).[/tex]

Рассмотрим несколько случаев.

1) [tex]t\in \left[-3; -3+\dfrac{7}{12}\right)\Rightarrow [t]=-3;\ \left[t-\dfrac{7}{12}\right]=-4\Rightarrow [t]^2-\left[t-\dfrac{7}{12}\right]=13\not=12.[/tex]

23)     [tex]t\in \left[4; 4+\dfrac{7}{12}\right)\Rightarrow [t]=4;\ \left[t-\dfrac{7}{12}\right]=3\Rightarrow [t]^2-\left[t-\dfrac{7}{12}\right]=13\not=12.[/tex]

4)           [tex]t\in \left[4+\dfrac{7}{12};5\right)\Rightarrow [t]=4;\ \left[t-\dfrac{7}{12}\right]=4\Rightarrow [t]^2-\left[t-\dfrac{7}{12}\right]=12.[/tex]

Итак,                          [tex]t\in \left[-3+\dfrac{7}{12};-2\right)\cup\left[4+\dfrac{7}{12};5\right),[/tex] а тогда

                                         [tex]x\in\left[-\dfrac{19}{4};-\dfrac{13}{3}\right)\cup\left[\dfrac{9}{4};\dfrac{8}{3}\right).[/tex]