Пусть

[tex]{{a}_{n}}=\ln n-n\Rightarrow {{a}_{n+1}}-{{a}_{n}}=\ln \frac{n+1}{n}-1 < 0\Leftrightarrow \frac{n+1}{n} < e\Leftrightarrow (e-1)n > 1[/tex]

Альтернативное решение

[tex]f(x)=\ln x-x\Rightarrow f'(x)=\frac{1-x}{x} < 0,\forall x > 1\Rightarrow f\searrow[/tex]