Сначала рассмотрим производную от функции [tex]f(x) = \frac{1-x}{\sqrt{1+x^2}}[/tex], то есть

[tex]f'(x) = \frac{\left(1-x\right)'_{x}\cdot \sqrt{{x}^{2}+1}-\left(\sqrt{{x}^{2}+1}\right)'\cdot \left(1-x\right)}{{x}^{2}+1}=\\=\frac{\left(-\left(x\right)'+\left(1\right)'\right)\cdot \sqrt{{x}^{2}+1}-\dfrac{1-x}{2\,\sqrt{{x}^{2}+1}}\cdot \left({x}^{2}+1\right)'}{{x}^{2}+1}=-\dfrac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}}-\dfrac{\left(1-x\right)\,x}{\left({{x}^{2}+1}\right)^{{3/2}}}[/tex]

Очевидно, что когда [tex]x \geq 1[/tex], то [tex]f'(x) \leq 0[/tex], поэтому [tex]\left \{ a_n \right \}[/tex]убывает

Рассмотрим

[tex]\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f(x) = \lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{1-x}{\sqrt{1+x^2}} = \lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{\frac1x-1}{\sqrt{\frac1{x^2}+1}} = -1[/tex]

А значит [tex]a_n > -1[/tex], следовательно, [tex]-1 < a_n \leq 0[/tex] ограничена

Verified answer

Ответ:

...................................................

Объяснение: