Чтобы найти точки перегиба, а после уже и интервалы выпуклости и вогнутости, нам нужно взять вторую производную, приравнять к нулю и определить знаки на интервалах

[tex]f(x)=\frac{x^3}{x^2+12}\Rightarrow f'(x)=\frac{\left({x}^{3}\right)'\cdot \left({x}^{2}+12\right)-\left({x}^{2}+12\right)'\cdot {x}^{3}}{\left({{x}^{2}+12}\right)^{2}}=\dfrac{3\,{x}^{2}\,\left({x}^{2}+12\right)-2\,{x}^{4}}{\left({{x}^{2}+12}\right)^{2}}[/tex]

[tex]f''(x)=\left(\dfrac{3\,{x}^{2}}{{x}^{2}+12}-\dfrac{2\,{x}^{4}}{\left({{x}^{2}+12}\right)^{2}}\right)'=\\=3\cdot \frac{\left({x}^{2}\right)'\cdot \left({x}^{2}+12\right)-\left({x}^{2}+12\right)'\cdot {x}^{2}}{\left({{x}^{2}+12}\right)^{2}}-2\cdot \frac{\left({x}^{4}\right)'\cdot \left({{x}^{2}+12}\right)^{2}-\left(\left({{x}^{2}+12}\right)^{2}\right)'\cdot {x}^{4}}{\left({{x}^{2}+12}\right)^{4}}=[/tex][tex]\\=\dfrac{3\,\left(2\,x\,\left({x}^{2}+12\right)-2\,{x}^{3}\right)}{\left({{x}^{2}+12}\right)^{2}}-\dfrac{2\,\left(4\,{x}^{3}\,\left({{x}^{2}+12}\right)^{2}-4\,{x}^{5}\,\left({x}^{2}+12\right)\right)}{\left({{x}^{2}+12}\right)^{4}}=\\=\frac{2x^3}{\left ( 12+x^2 \right )^2}-4x^3\cdot \frac{x^2+36}{\left ( 12+x^2 \right )^3}+2x\cdot \frac{x^2+36}{\left ( 12+x^2 \right )^2}=24x\cdot \frac{36-x^2}{\left ( 12+x^2 \right )^3}[/tex]

[tex]f''(x)=0\Rightarrow 24x\cdot \frac{36-x^2}{\left ( 12+x^2 \right )^3}=0\Leftrightarrow 24x\left ( 36-x^2 \right )=0\Rightarrow x=\left \{ 0,\pm 6 \right \}[/tex]

Мы всё подставляем во вторую производную!

Если подставить [tex]-1000[/tex], то получим положительное число, значит функция на [tex](-\infty ,-6)[/tex] вогнутая

Если подставить [tex]1000[/tex], то получим отрицательное число, значит функция на [tex](6,\infty[/tex]) выпукла

Если подставить [tex]1[/tex], то получим положительное число, значит функция на [tex](0,6)[/tex] вогнута

Если подставить [tex]-1[/tex], то получим отрицательное число, значит функция на [tex](-6,0)[/tex] выпукла