Так как у нас сложная функция и основание известно, то воспользуемся формулой для сложной функции

[tex]{a^{u\left(x\right)}}'=a^{u\left(x\right)}\cdot \ln\left(a\right)\,\cdot\,{u}'\left(x\right)[/tex]

[tex]f'(x)=\left (2^{\sin 2x} \right )'={2}^{\sin\left(2\,x\right)}\cdot \ln\left(2\right)\cdot \left(\sin\left(2\,x\right)\right)'=\\=\ln\left(2\right)\,{2}^{\sin\left(2\,x\right)}\cdot \cos\left(2\,x\right)\cdot \left(2\,x\right)'=\ln\left(2\right)\,{2}^{\sin\left(2\,x\right)+1}\,\cos\left(2\,x\right)[/tex]