[tex]\lim\limits_{n\to \infty}x_n = a \Leftrightarrow \left \{ \forall \varepsilon > 0, \; \exists N \in \mathbb{N}, \forall n > N : |x_n - a| < \varepsilon \right \}[/tex]

Чтобы последовательность не имела предела, мы должны выполнить следующее

[tex]$$\{\exists \varepsilon > 0, \forall N \in \mathbb N, \exists n > N: |x_n - a| \ge \varepsilon\}$$[/tex]

Так как [tex]$n \in \mathbb N$[/tex], то для [tex]$k\in\mathbb N$[/tex]

[tex]$$\begin{equation*} |x_n| = \begin{cases} 3, & n=2k -1, \\ {1\over 3}, & n = 2k \end{cases} \end{equation*}$$[/tex]

Теперь возьмем, к примеру, [tex]$\varepsilon = 1$[/tex]. С этим [tex]$\varepsilon$[/tex] для любого [tex]$N$[/tex] мы можем найти бесконечно много [tex]$n$[/tex] таких, что [tex]$n > N \\text{and}\ |x_n -3| \ge 1$[/tex]. Следовательно, последовательность не имеет предела

Определение предела основано на нахождении произвольного [tex]$\varepsilon > 0$[/tex], но сколь угодно малого, по существу "достигающего" нуля, таким образом, [tex]$x_n \to a$[/tex]. Поскольку мы нашли [tex]$\varepsilon > 0$[/tex] такое, что последовательность не сходится ( [tex]$|x_n - a | \geq \epsilon$[/tex]), то последовательность действительно не имеет предела