Рівняння x¹⁰ = -1 можна переписати у вигляді x¹⁰ + 1 = 0.
Застосовуємо формулу різниці кубів:
a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²).
Отже, застосовуючи цю формулу, ми можемо записати рівняння у наступному вигляді:
(x²)⁵ + 1³ = 0.
Тепер ми можемо застосувати формулу різниці квадратів:
a⁴ - b⁴ = (a² + b²)(a² - b²).
Підставляючи a = x² і b = 1 в формулу, отримуємо:
(x²)² - 1² = (x² + 1)(x² - 1).
Отже, можемо записати рівняння у наступному вигляді:
(x² + 1)(x² - 1)(x² + 1) = 0.
Помітимо, що (x² + 1)² = (x⁴ + 2x² + 1), тому рівняння можна подальше спростити:
(x⁴ - 1)(x⁴ + 1) = 0.
Таким чином, ми розбили наше початкове рівняння на дві частини:
1) x⁴ - 1 = 0,
2) x⁴ + 1 = 0.
Розв'язавши ці два рівняння, отримаємо відповіді:
1) x⁴ - 1 = 0:
(x² - 1)(x² + 1) = 0.
Розв'язавши це рівняння, отримаємо x = -1, x = 1.
2) x⁴ + 1 = 0:
x⁴ = -1.
Зауважимо, що неможливо знайти дійсне значення x, яке піднесене до четного степеня дорівнює від'ємному числу. Тому в цьому випадку роз'язків на множині дійсних чисел немає.
Таким чином, рівняння x¹⁰ = -1 має два розв'язки: x = -1 і x = 1.
Answers & Comments
Ответ:
Объяснение:
Рівняння x¹⁰ = -1 можна переписати у вигляді x¹⁰ + 1 = 0.
Застосовуємо формулу різниці кубів:
a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²).
Отже, застосовуючи цю формулу, ми можемо записати рівняння у наступному вигляді:
(x²)⁵ + 1³ = 0.
Тепер ми можемо застосувати формулу різниці квадратів:
a⁴ - b⁴ = (a² + b²)(a² - b²).
Підставляючи a = x² і b = 1 в формулу, отримуємо:
(x²)² - 1² = (x² + 1)(x² - 1).
Отже, можемо записати рівняння у наступному вигляді:
(x² + 1)(x² - 1)(x² + 1) = 0.
Помітимо, що (x² + 1)² = (x⁴ + 2x² + 1), тому рівняння можна подальше спростити:
(x⁴ - 1)(x⁴ + 1) = 0.
Таким чином, ми розбили наше початкове рівняння на дві частини:
1) x⁴ - 1 = 0,
2) x⁴ + 1 = 0.
Розв'язавши ці два рівняння, отримаємо відповіді:
1) x⁴ - 1 = 0:
(x² - 1)(x² + 1) = 0.
Розв'язавши це рівняння, отримаємо x = -1, x = 1.
2) x⁴ + 1 = 0:
x⁴ = -1.
Зауважимо, що неможливо знайти дійсне значення x, яке піднесене до четного степеня дорівнює від'ємному числу. Тому в цьому випадку роз'язків на множині дійсних чисел немає.
Таким чином, рівняння x¹⁰ = -1 має два розв'язки: x = -1 і x = 1.