Решите уравнение[tex]\bf\\16^{x^2+y}+16^{x+y^2}=1[/tex] (без использования неравенства Коши). Created by bb573878. algebra-ru

tex] (без использования неравенства Коши)...

Verified answer

$16^{x^2+y}+16^{x+y^2}=(4^{x^2+y})^2+(4^{x+y^2})^2=(4^{x^2+y}-4^{x+y^2})^2+2\cdot 4^{x^2+y+x+y^2}=(4^{x^2+y}-4^{x+y^2})^2+2\cdot 4^{(x+1/2)^2+(y+1/2)^2-1/2}\ge 2\cdot 4^{-1/2}=1,$

причем неравенство превращается в равенство тогда и только тогда, когда $4^{x^2+y}-4^{x+y^2}=0,\ x+1/2=0, y+1/2=0\Leftrightarrow \left \{ {{x=-1/2} \atop {y=-1/2}} \right. .$