Verified answer

Ответ:

Площа ΔCOD дорівнює 1,5 см²

Объяснение:

У рівнобічній трапеції ABCD (AD II BC) BC=[tex]\sqrt[4]{3}[/tex] см, AD=[tex]2\sqrt[4]{3}[/tex] см, діагоналі перетинаються в точці О і дорівнюють [tex]3\sqrt[4]{3}[/tex] см. Обчисліть площу трикутника COD (у см²).

Нехай маємо трапецію ABCD (AD||BC), у якої BC=[tex]\sqrt[4]{3}[/tex] см, і AD=[tex]2\sqrt[4]{3}[/tex] см, - основи; AC=BD= [tex]3\sqrt[4]{3}[/tex] - діагоналі, які перетинаються в точці O.

1. Розглянемо ΔCOB і ΔAOD

• ∠COB=∠AOD -  як вертикальні,
• ∠OBC=∠ODA  - як внутрішні різносторонні при паралельних прямих BC, AD і січної BD.

Звідси слідує, що ΔCOB і ΔAOD подібні (за двома кутами), тому їх відповідні сторони пропорційні. Отже,  маємо:

[tex]\sf \dfrac{BC}{AD}=\dfrac{CO}{AO}[/tex]

[tex]\sf \dfrac{\sqrt[4]{3}}{2\sqrt[4]{3} }=\dfrac{CO}{AO}[/tex]

[tex]\sf \dfrac{1}{2 }=\dfrac{CO}{AO}[/tex]

Звідс, АО=2СО

АС=АО+СО=2СО+СО=3СО

АС=[tex]3\sqrt[4]{3}[/tex] - за умовою, тому:

3СО=3[tex]\sqrt[4]{3}[/tex],    ⇒       СО=[tex]\bf\sqrt[4]{3}[/tex] (cм), AO=[tex]2\sqrt[4]{3}[/tex] (см).

Так як  АС=BD, то ВО=[tex]\bf\sqrt[4]{3}[/tex] (cм), OD=[tex]2\sqrt[4]{3}[/tex] (см).

2. Розглянемо ΔВОС.

За теоремою косинусів знайдемо ∠ВОС.

[tex]\sf cos\angle BOC=\dfrac{BO^{2} +CO^{2}-BC^{2} }{2BO\cdotCO}[/tex]

[tex]\sf cos\angle BOC=\dfrac{(\sqrt[4]{3} )^{2} +(\sqrt[4]{3} )^{2}-(\sqrt[4]{3} )^{2} }{2\sqrt[4]{3} \cdot \sqrt[4]{3} } =\dfrac{\sqrt{3} }{2\sqrt{3} } =\bf \dfrac{1}{2}[/tex]

Отже, ∠ВОС=60°

Так як ∠ВОС і ∠COD - суміжні, то:

∠COD=180°-∠ВОС=180°-60°=120°

3. Розглянемо ΔCOD

Площа трикутника обчислюється за формулою:

[tex]\bf S=\dfrac{1}{2} \cdot CO \cdot OD \cdot sin \angle COD[/tex]

[tex]\sf S=\dfrac{1}{2} \cdot \sqrt[4]{3} \cdot 2 \sqrt[4]{3} \cdot sin 120^\circ=( \sqrt[4]{3})^2 \cdot \dfrac{\sqrt{3} }{2} =\sqrt{3} \cdot \dfrac{\sqrt{3} }{2} =\dfrac{3}{2}=\bf 1,5[/tex] (см²)

Відповідь: 1,5 см²

#SPJ1