tex] и найдите, при каких значениях а множество решений неравенства представляет...

March 2022 1 32 Report

Для каждого допустимого значения а решите неравенство [tex]a^{x}(a-1)^x - 2a^{x+1} - (a-1)^x + 2a \leq 0[/tex] и найдите, при каких значениях а множество решений неравенства представляет собой промежуток длины 2.

Answers & Comments

Матов a^x*(a-1)^x-2a*a^x-(a-1)^x+2a <= 0
a^x((a-1)^x-2a)-((a-1)^x-2a)) <= 0
(a^x-1)((a-1)^x-2a) <= 0

Общность решения
1. {a^x<=1 {(a-1)^x>=2a
2.  {a^x>=1  {(a-1)^x<=2a

Отсюда получаем 4 случая
1)
При a<0 , получаем что решений нет, так как основание логарифма (a) отрицательное (решения только в целых числах)
2)
При 0<a<1 получаем что основание логарифма (a-1) так же отрицательное
3)
При 1<=a<2 получаем
(-oo;log(a-1)(2a)) U (0;+oo)
4)
При a>=2
Получаем
x>=0  x<=log(a-1)2a
5)
Откуда [0,log(a-1)2a]
log(a-1) 2a = 2
2a=(a-1)^2
2a=a^2-2a+1
a>1
a^2-4a+1=0
D=12
a=(4+2√3)/2 = 2+√3
При a=2+√3 множество решений [0,2]