Ответ:

16

Объяснение:

Сдвинем запятую в числе x на две позиции вправо. Для этого число необходимо умножить на k². Тогда [tex]xk^2=23{,}2323\ldots_k[/tex]. Если вычесть из него x, дробная часть сократится, и останется [tex]xk^2-x=23_k=2k+3[/tex]

Подставляя [tex]x=\dfrac{7}{51}[/tex], получаем уравнение:

[tex]\dfrac{7}{51}k^2-2k-\dfrac{7}{51}-3=0\\7k^2-102k-160=0[/tex]

Решая это квадратное уравнение, получаем корни [tex]k=16;-\dfrac{10}{7}[/tex]. Второе значение k не может быть основанием системы счисления. k = 16 удовлетворяет смыслу задачи (все цифры числа x меньше 16). Оно и будет ответом.