Verified answer

Ответ:  16.

Объяснение: Задача-страшилка. Заметим, что

[tex]\dfrac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}=\dfrac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})(\sqrt{k+1}+\sqrt{k})}=\dfrac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{k+1-k}=\sqrt{k+1}-\sqrt{k}[/tex]

Поэтому

[tex]S_n=(\sqrt{2}-1)+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+\ldots+(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})=\sqrt{n+1}-1.[/tex]

[tex]N=\sum\limits_{k=1}^{2021}S_k(S_k+2)=\sum\limits_{k=1}^{2021}(\sqrt{k+1}-1)(\sqrt{k+1}+1)=\sum\limits_{k=1}^{2021}k=\dfrac{2021\cdot 2022}{2}=[/tex]

[tex]=\dfrac{(43\cdot 47)\cdot( 2\cdot 3\cdot 337)}{2}=3\cdot 43\cdot 47\cdot 337.[/tex] Получили разложение числа N на простые множители. Каждый натуральный делитель числа N имеет вид  [tex]3^a\cdot 43^b\cdot 47^c\cdot 337^d,[/tex]  где a, b, c  и d могут принимать значения 0 и  1. Поэтому всего натуральных делителей  [tex]2^4=16[/tex].

Замечание. Разложение чисел 2021 и 2022 на простые множители любой участник олимпиады в 2022 году должен знать наизусть. Простота чисел 43 и 47 очевидна, простоту числа 337 придется проверять, деля его на простые числа, не превосходящие целой части корня из 337 - (это 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17).