tex] Во сколько раз первый интервал времени больше второго?...

March 2022 1 52 Report

Шар с отверстием, прикрепленный к пружине, второй конец которой прикреплён к стене, колеблется на горизонтальном стержне. Через некоторое небольшое время [tex] t_1 [/tex] от положения, где его скорость равна нулю – он проходит некоторое небольшое расстояние [tex] L<<A , [/tex] где [tex] A [/tex] – амплитуда. Затем за небольшое время [tex] t_2 [/tex] – он проходит такое же расстояние [tex] L . [/tex] Во сколько раз первый интервал времени больше второго?

Answers & Comments

logophobia

Verified answer

Скорость шара равна нулю, либо при максимальном сжатии пружины, либо при максимальном растяжении пружины. От этого положения, как от начального, уравнение движения можно записать так:

$x = A \cos{ \omega t } \ ,$

имея в виду, что в локальной окрестности сжатия $x$ – это степень сжатия, а в локальной окрестности растяжения $x$ – это степень растяжения.

Тогда искомая точка: $x = A - L \ ;$

$A - L = A \cos{ \omega t } \ ,$

$1 - \frac{L}{A} = \cos{ \omega t_1 } \ ,$

$1 - \frac{L}{A} \approx 1 - \frac{ (\omega t_1)^2 }{2} \ ,$

$\frac{L}{A} \approx \frac{ (\omega t_1)^2 }{2} \ ,$

Аналогично:

$\frac{2L}{A} \approx \frac{ ( \omega^2 (t_1+t_2)^2 }{2} \ ,$

Разделим друг на друга два последних уравнения:

$2 \approx ( \frac{t_1+t_2}{t_1} )^2 \ ,$

$2 \approx ( 1 + \frac{t_2}{t_1} )^2 \ ,$

$\frac{t_2}{t_1} \approx \sqrt{2} - 1 \ ,$

$\frac{t_1}{t_2} \approx \frac{1}{ \sqrt{2} - 1 } = \frac{ \sqrt{2} + 1 }{ ( \sqrt{2} - 1 ) ( \sqrt{2} + 1 ) } = \sqrt{2} + 1 \ ,$

$t_1 \approx ( \sqrt{2} + 1 ) t_2 \ ,$

ОТВЕТ: При $L$ больше чем $t_2$ в $( \sqrt{2} + 1 ) \approx 2.414$ раза.

*** при больших значениях $L$ эта закономерность перестаёт выполняться, а при $L = \frac{A}{2}$ соотношение достигает предельного случая, в котором $\frac{t_1}{t_2} = 2 \ .$

3 votes Thanks 1

ЮрВас Спасибо за красивую задачу и хорошее решение!

Answers & Comments

Verified answer

poezd dalnego sledovaniya sostoyashij iz lokomotiva i n vagonov preodolevaet pryac41fa1e34957cbfb1cc41bcf88bf68e5 33348

tex massa klina mozhet byt voobshe lyuboj i dazhe skol ugodno malenkoj polozhite

poezd dalnego sledovaniya sostoyashij iz lokomotiva i n vagonov preodolevaet prya

na gladkoj gorizontalnoj poverhnosti pokoitsya klin massoj m na gran sostavlya28523c2ba93465d48e697623a1a83369 37718

na gladkoj gorizontalnoj poverhnosti pokoitsya klin massoj m na gran sostavlya

smeshali vozduh obyomom 5m i otnositelnoj vlazhnostyu 22 pri temperature 15s s

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social