tex]...

July 2022 1 70 Report

Доказать, что

[tex]\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{n!}{\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n}=1[/tex]

Answers & Comments

MeDi0N Рассмотрим следующую гамму-функцию: Г(n+1)= $\int\limits^\infty_0$ xⁿ·e⁻ˣ dx.
Положим x=n(1+u), то есть, получаем Г(n+1) = nⁿ⁺¹ e⁻ⁿ $\int\limits^{+\infty}_{-1}$ ((1+u)*e^(-u))ⁿ du

Пусть u=f(a): Г(n+1)=nⁿ⁺¹ e⁻ⁿ $\int\limits^{+\infty}_{-\infty}$ e⁻ⁿᵃ * f'(a)da

Пусть n^(-0.5a)=b, имеем Г(n+1) = n^(n+0.5) * e⁻ⁿ $\int\limits^{+\infty}_{-\infty}$ $e^{-b^2}$ f'(b/√n) db
или это можно переписать в виде $\frac{\Gamma(n+1)}{n^{-n}e^{-n} \sqrt{n} } = \int\limits^{+\infty}_{-\infty} e^{-b^2}f'( \frac{b}{ \sqrt{n} } )db$
При n стремящихся к бесконечности b/√n -> 0, то есть $\int\limits^{+\infty}_{-\infty} e^{-b^2}f'( \frac{b}{ \sqrt{n} } )db= \sqrt{2} \int\limits^{+\infty}_{-\infty} e^{-b^2}db=\sqrt{2} \pi$

Откуда вытекает формула Стирлинга n!=Г(n+1)=nⁿ e⁻ⁿ √(2πn), то есть
$\lim_{n \to \infty} \frac{\Gamma(n+1)}{n^ne^{-n} \sqrt{n} } =1$

0 votes Thanks 0

MeDi0N Свойство Гамма-функции: Г(n+1) = n!

yugolovin А куда делась степень (1+u) во второй строчке?

MeDi0N Вся скобках в степени n)

MeDi0N Скобка*

yugolovin А что за f(a)? Почему нижний предел стал равен минус бесконечности? И как (1+u)^n e^{-nu} превратилась в e^{-na}?

MeDi0N f(a) - некоторая функция, т.е. введенная выше обратная функция, удовлетворяющая условиям: u=-1 при a=-бесконечность и u=+inf при a=+inf.

MeDi0N Ну это замена

yugolovin но Вы же не написали какая замена

MeDi0N Также стоит заметить что a^2 = u - ln(u+1) = ln(e^u/(u+1)) и e^(-a^2) = (1+u)*e^(-u)

MeDi0N Третья строка: Пусть u=f(a)

Answers & Comments

tex]...

tex]...

Какую знаменитую итальянскую актрису критики называли "Чаплиным в юбке"? И почем...

Доказать, что если четырехугольник является одновременно вписанным и описанным, ...

tex] состоит из одной точки...

tex]...

tex]? Использование производной не приветствуется...

Сформулировать и доказать теорему Наполеона (желательно, но не обязательно -для ...

Доказать, что в любом треугольнике точка пересечения медиан, точка пересечения в...

Что связывает имена Генри Перселла и Бенджамина Бриттена?...

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social