[tex]sin^{3} x + cos^{3}x = 1[/tex]. Created by Змей24. algebra-ru

Делаем замену:так как:то выражаем синус и косинус через y:упростим немного исходное уравнение:подставляем:раскрываем скобки в левой части:в правой части:получим:используем схему Горнера(см вложение)обратная замена:по условию замены пересекаем множества корней x1 с x2 и x3 с x4:В итоге:Ответ:

tex]...

Змей24 @Змей24

August 2022 1 36 Report

[tex]sin^{3} x + cos^{3}x = 1[/tex]

Answers & Comments

AnonimusPro

Verified answer

Делаем замену:
$y=tg(\frac{x}{2})$
так как:
$tg(\frac{x}{2})=\frac{1-cosx}{sinx}=\frac{sinx}{1+cosx}$
то выражаем синус и косинус через y:
$ysinx=1-cosx
\\cosx=1-ysinx
\\sinx=y(1+cosx)
\\cosx=1-y*y(1+cosx)
\\cosx=1-y^2-y^2*cosx
\\y^2cosx+cosx=1-y^2
\\cosx(y^2+1)=1-y^2
\\cosx=\frac{1-y^2}{y^2+1}
\\sinx=y(1+\frac{1-y^2}{y^2+1})
\\sinx=y(\frac{y^2+1+1-y^2}{y^2+1})
\\sinx=\frac{2y}{y^2+1}$
упростим немного исходное уравнение:
$(sin^3x+cos^3x)=1
\\(sinx+cosx)(1-sinx*cosx)=1$
подставляем:
$(\frac{2y}{y^2+1}+\frac{1-y^2}{y^2+1})(1-\frac{1-y^2}{y^2+1}*\frac{2y}{y^2+1})=1
\\\frac{2y+1-y^2}{y^2+1}*(1-\frac{2y(1-y^2)}{(y^2+1)^2})=1
\\\frac{2y+1-y^2}{y^2+1}*\frac{y^4+2y^2+1-2y+2y^3}{(y^2+1)^2}=1
\\(2y+1-y^2)(y^4+2y^3+2y^2-2y+1)=(y^2+1)^3$
раскрываем скобки в левой части:
$(2y+1-y^2)(y^4+2y^3+2y^2-2y+1)=\\=2y^5+4y^4+4y^3-4y^2+2y+y^4+2y^3+2y^2-2y+1\\-y^6-2y^5-2y^4+2y^3-y^2=-y^6+3y^4+8y^3-3y^2+1$
в правой части:
$(y^2+1)^3=y^6+3y^4+3y^2+1$
получим:
$-y^6+3y^4+8y^3-3y^2+1=y^6+3y^4+3y^2+1
\\-y^6+8y^3-3y^2=y^6+3y^2
\\2y^6-8y^3+6y^2=0
\\y^2(y^4-4y+3)=0
\\y_1=0
\\y^4-4y+3=0
\\P(1)=1-4+3=0 \Rightarrow y_2=1$
используем схему Горнера(см вложение)
$(y-1)^2(y^2+2y+3)=0
\\y^2+2y+3=0
\\D\ \textless \ 0$
обратная замена:
$y=0
\\sinx= \frac{0}{1} =0
\\x_1=\pi n,\ n \in Z
\\cosx= \frac{1}{1} =1
\\x_2=2\pi n,\ n \in Z
\\y=1
\\sinx= \frac{2}{2} =1
\\x_3=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n \in Z
\\cosx=0
\\x_4=\frac{\pi}{2}+\pi n, n \in Z$
по условию замены пересекаем множества корней x1 с x2 и x3 с x4:
$\left \{ {{x_1=\pi n,\ n \in Z} \atop {x_2=2\pi n,\ n \in Z}} \right. \Rightarrow x_1=2\pi n,\ n \in Z
\\ \left \{ {{x_3=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n \in Z} \atop {x_4=\frac{\pi}{2}+\pi n, n \in Z}} \right. \Rightarrow x_2=\frac{\pi}{2}+2\pi n, n \in Z
$
В итоге:
$x_1=2\pi n,\ n \in Z
\\x_2=\frac{\pi}{2}+2\pi n, n \in Z
$
Ответ: $x_1=2\pi n,\ n \in Z \ ; \ x_2=\frac{\pi}{2}+2\pi n, n \in Z$

3 votes Thanks 2

Змей24 Скажи честно, ты их читала?

Змей24 Там ошибка, правильно так: Значит, сумма sin^3(x) + cos^3(x) не может быть больше sin^2(x) + cos^2(x). Была перепутана степень.

Змей24 Доказательства методом математической индукции, от противного, доказательства в геометрии по-твоему тоже ничего не доказывают?

Змей24 Я писал, что sin^3(x) + cos^2(x) НЕ МОЖЕТ быть больше 1, т. к. sin^2(x) + cos^2(x) = 1 и |sinx| <= 1. Да, если тебя можно переубедить, когда ты неправа.

Answers & Comments

Verified answer

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social