tex]...

July 2022 2 32 Report

Уравнение [tex]\sqrt[3]{F(x)}+\sqrt[3]{G(x)}+\sqrt[3]{H(x)}=0[/tex] часто решают таким способом: переносим третье слагаемое направо, возводим левую и правую части в куб, получая при этом уравнение

[tex]F(x)+G(x)+3\sqrt[3]{F(x)\cdot G(x)}\left(\sqrt[3]{F(x)}+\sqrt[3]{G(x)}\right)=-H(x).[/tex]

С помощью исходного уравнения заменяем скобку в левой части уравнения на [tex]-\sqrt[3]{H(x)},[/tex] получая при этом (вообще говоря, неравносильное исходному) уравнение

[tex]F(x)+G(x)+H(x)=3\sqrt[3]{F(x)\cdot G(x)\cdot H(x)}.[/tex]
Пусть [tex]x_0[/tex] - корень получившегося уравнения. Докажите, что он НЕ является корнем исходного уравнения тогда и только тогда, когда

[tex]F(x_0)=G(x_0)=H(x_0)\not= 0.[/tex]

Indentuum

Предположим обратное: x₀ является корнем уравнения. Тогда F(x₀) = G(x₀) = H(x₀) = N, N ≠ 0. Тогда получаем, что в исходном уравнении $\sqrt[3]{N}+\sqrt[3]{N}+\sqrt[3]{N}=3\sqrt[3]{N}=0$ . Раз N ≠ 0, то и $\sqrt[3]{N} \neq 0$ . Получается, что ни один из множителей не равен нулю, но произведение в итоге стало нулём. Получили противоречие, значит, такого быть не может - x₀ не является корнем уравнения.

1 votes Thanks 2

yugolovin Насколько я понял, Вы доказываете необходимость от противного. Но почему Вы решили, что противное - это F(x_0)=G(x_0)=H(x_0)=0?

Indentuum Сначала предполагаем что все функции равны нулю, потом что хотя бы одна функция отлична от другой

yugolovin Так что - Вы утверждаете, что у Вас правильное решение?

DNHelper

Verified answer

Необходимость: Дано уравнение $\sqrt[3]{F(x)} + \sqrt[3]{G(x)} + \sqrt[3]{H(x)} = 0$ . Дан $x_0$ - корень уравнения $F(x) + G(x) + H(x) = 3\sqrt[3]{F(x)G(x)H(x)}$ и $\sqrt[3]{F(x_0)} + \sqrt[3]{G(x_0)} + \sqrt[3]{H(x_0)} \neq 0$ .

Доказать что $F(x_0) = G(x_0) = H(x_0) \neq 0$ .

Предположим что $F(x_0) = G(x_0) = H(x_0) = 0$ .

Тогда, $\sqrt[3]{F(x_0)} + \sqrt[3]{G(x_0)} + \sqrt[3]{H(x_0)} = 0$ . Противоречие.

Предположим, что равенство не выполняется. Тогда $F(x) + G(x) + H(x) \neq 3F(x_0) \text{ or } 3G(x_0) \text{ or } 3H(x_0)$ и $3\sqrt[3]{F(x_0)G(x_0)H(x_0)} \neq 3F(x_0) \text{ or } 3G(x_0) \text{ or } 3H(x_0)$ .

Следовательно, не будет выполнятся $F(x_0) + G(x_0) + H(x_0) \neq 3\sqrt[3]{F(x_0)G(x_0)H(x_0)}$ . Но $x_0$ корень данного уравнения. Противоречие.

Достаточность: $F(x_0) = G(x_0) = H(x_0) \neq 0$ .

Тогда

$\sqrt[3]{F(x_0)} + \sqrt[3]{G(x_0)} + \sqrt[3]{H(x_0)} = 3\sqrt[3]{F(x_0)} \neq 0$

0 votes Thanks 1

yugolovin Честно говоря, я не понял Ваше доказательство

DNHelper Я принял значение F(x0) (а соответственно и G(x0), и H(x0)) за N, при этом N не должно быть равным нулю по условию. Подставляем это N в исходное уравнение и получаем с одной стороны произведение двух отличных от нуля чисел, а с другой стороны ноль. Логично, что такого быть не может.

yugolovin Вы не обратили внимания, что требуется доказать, что это необходимые и достаточные условия

Answers & Comments

Verified answer

tex]...

tex]...

kakuyu znamenituyu italyanskuyu aktrisu kritiki nazyvali chaplinym v yubke i pochem

dokazat chto esli chetyrehugolnik yavlyaetsya odnovremenno vpisannym i opisannym

tex sostoit iz odnoj tochki

tex]...

tex ispolzovanie proizvodnoj ne privetstvuetsya

sformulirovat i dokazat teoremu napoleona zhelatelno no ne obyazatelno dlya

dokazat chto v lyubom treugolnike tochka peresecheniya median tochka peresecheniya v

chto svyazyvaet imena genri persella i bendzhamina brittena

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social