tex]...

June 2022 1 45 Report

Пусть a и b - положительные числа. Найти
[tex]\lim\limits_{x\to -\infty}\left(\frac{a^x+b^x}{2}\right)^{1/x}\ \ \[/tex] и [tex]\lim\limits_{x\to +\infty}\left(\frac{a^x+b^x}{2}\right)^{1/x}.[/tex]

Answers & Comments

Alexandr130398

Ответ:

$1) \ \lim\limits_{x \to -\infty} \left( \frac{a^x+b^x}{2} \right)^\frac{1}{x} =a \\ \\ 2) \ \lim\limits_{x \to +\infty} \left( \frac{a^x+b^x}{2} \right)^\frac{1}{x} =b$

Объяснение:

b>a>0

$1) \ \lim\limits_{x \to -\infty} \left( \frac{a^x+b^x}{2} \right)^\frac{1}{x} =\left( \frac{a^{ -\infty}+b^{ -\infty}}{2} \right)^\frac{1}{ -\infty} =[0^0]$

Пусть $y=\left( \frac{a^x+b^x}{2} \right)^\frac{1}{x}$ , тогда

$\ln y=\ln \left(\frac{a^x+b^x}{2}\right)^\frac{1}{x} =\frac{1}{x} \ln \left(\frac{a^x+b^x}{2}\right) =\frac{\ln \left(\frac{a^x+b^x}{2}\right)}{x} \\ \\ \lim\limits_{x \to -\infty} \ln y=\lim\limits_{x \to -\infty} \frac{( \ln \left(\frac{a^x+b^x}{2} \right))'}{x'} = \left[\frac{\infty}{\infty} \right] =\lim\limits_{x \to -\infty} \frac{\frac{2}{a^x+b^x}*\frac{a^x \ln a +b^x \ln b}{2} }{1} =$

$></p><p><img src=$

Значит

$\lim\limits_{x \to -\infty} \ln y=\ln a \\ \\ \ln \left(\lim\limits_{x \to -\infty} y\right)=\ln a \\ \\ \lim\limits_{x \to -\infty} y=a \\ \\ \lim\limits_{x \to -\infty} \left( \frac{a^x+b^x}{2} \right)^\frac{1}{x} =a$

Аналогично со вторым номером

$1) \ \lim\limits_{x \to +\infty} \left( \frac{a^x+b^x}{2} \right)^\frac{1}{x} =\left( \frac{a^{ +\infty}+b^{ +\infty}}{2} \right)^\frac{1}{ +\infty} =[\infty^0]$

Пусть $y=\left( \frac{a^x+b^x}{2} \right)^\frac{1}{x}$ , тогда

$\ln y=\ln \left(\frac{a^x+b^x}{2}\right)^\frac{1}{x} =\frac{1}{x} \ln \left(\frac{a^x+b^x}{2}\right) =\frac{\ln \left(\frac{a^x+b^x}{2}\right)}{x} \\ \\ \lim\limits_{x \to +\infty} \ln y=\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{( \ln \left(\frac{a^x+b^x}{2} \right))'}{x'} = \left[\frac{\infty}{\infty} \right] =\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{\frac{2}{a^x+b^x}*\frac{a^x \ln a +b^x \ln b}{2} }{1} =$

$></p><p><img src=$

Значит

$\lim\limits_{x \to +\infty} \ln y=\ln b \\ \\ \ln \left(\lim\limits_{x \to +\infty} y\right)=\ln b \\ \\ \lim\limits_{x \to +\infty} y=b \\ \\ \lim\limits_{x \to +\infty} \left( \frac{a^x+b^x}{2} \right)^\frac{1}{x} =b$

1 votes Thanks 1

Alexandr130398 если а и b меньше 1, то будет неопределенность оо^0

Alexandr130398 далее для раскрытия неопределенности мы логарифмируем

Alexandr130398 если а и b меньше 1, то log(a^(-oo)+b^(-oo) / 2)=log(oo)=oo

Alexandr130398 если а и b больше 1, то log(a^(-oo)+b^(-oo) / 2)=log0=-oo

Alexandr130398 в любом случае получается неопределенность оо/оо

Alexandr130398 значит можно воспользоваться правилом лопиталя

yugolovin Слушайте, решение должно быть корректным и пониматься без комментариев. Я вижу, что Вы пишете в тексте неоределенность определенного типа, а она бывает разная при разных a и b. Я так не понимаю. Давайте добьемся вместе идеального решения, скорректировав основной текст

Alexandr130398 Если вам мое решенте кажется "некорректным", можете его удалить (пожаловаться).

Alexandr130398 Вообще не понимаю, зачем сюда выкладывать задания, если сам знаешь как его решать

yugolovin Я говорю про математическую истину, а Вы начинаете обижаться((

Answers & Comments

tex]...

tex]...

kakuyu znamenituyu italyanskuyu aktrisu kritiki nazyvali chaplinym v yubke i pochem

dokazat chto esli chetyrehugolnik yavlyaetsya odnovremenno vpisannym i opisannym

tex sostoit iz odnoj tochki

tex]...

tex ispolzovanie proizvodnoj ne privetstvuetsya

sformulirovat i dokazat teoremu napoleona zhelatelno no ne obyazatelno dlya

dokazat chto v lyubom treugolnike tochka peresecheniya median tochka peresecheniya v

chto svyazyvaet imena genri persella i bendzhamina brittena

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social